מצגת הסבר – גאומטרייה אנליטית

14 שקפים · נקודות, ישרים ומשולשים במערכת צירים

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

גאומטרייה אנליטית

מצגת הסבר – נקודות, ישרים ומשולשים במערכת צירים

מתמטיקה 3 יח״לשאלון 35372תכנית חדשהלפי הנוסחאון

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353721 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

מה נלמד?

בשאלה יש צורה (משולש או מרובע) במערכת צירים. מחשבים בעזרת שיעורי הנקודות ומשוואות הישרים:

נקודות על הצירים ונקודת חיתוך של ישרים
שיפוע ומשוואת ישר
ישרים מאונכים ומקבילים
אמצע קטע ואורך קטע
להראות שמשולש שווה שוקיים / ישר זווית
שטח והיקף

המרובע $A B C D$ – בגרות קיץ תשפ״ו

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353722 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

המושגים

נקודה $(x, y)$

נקודה על ציר ה־ $y$ ← $x = 0$

נקודה על ציר ה־ $x$ ← $y = 0$

ישר $y = m x + b$

$m$ – השיפוע (המקדם של $x$ ).
$b$ – החיתוך עם ציר ה־ $y$ , בנקודה $(0, b)$ .

ישר מקביל לציר ה־ $x$

משוואתו $y =$ מספר, למשל $y = 6$ . השיפוע $0$ .

ישר מקביל לציר ה־ $y$

משוואתו $x =$ מספר, למשל $x = 4$ .

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353723 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

מה יש בנוסחאון?

📘 מהנוסחאון – גאומטרייה אנליטית

השיפוע $m$ של ישר העובר דרך $(x_{1}, y_{1})$ ו־ $(x_{2}, y_{2})$	$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
משוואת ישר ששיפועו $m$ , העובר בנקודה $(x_{1}, y_{1})$	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$
אמצע הקטע שקצותיו $A (x_{1}, y_{1})$ ו־ $B (x_{2}, y_{2})$	$x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}, y = \frac{y _{1} + y _{2}}{2}$
המרחק $d$ בין $A (x_{1}, y_{1})$ ל־ $B (x_{2}, y_{2})$	$d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$
ישרים מאונכים זה לזה אם ורק אם	$m_{1} \cdot m_{2} = - 1$
ישרים מקבילים זה לזה אם ורק אם	$m_{1} = m_{2} (b_{1} \neq = b_{2})$

כל הנוסחאות של הנושא נמצאות בנוסחאון – צריך לדעת מתי להשתמש בכל אחת.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353724 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

כלי 1: נקודות על הצירים

נקודה על ציר ה־ $y$ ← מציבים $x = 0$ במשוואת הישר.
נקודה על ציר ה־ $x$ ← מציבים $y = 0$ ופותרים.

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

משוואת הישר $A B$ היא $y = - \frac{1}{3} x + 2$ .

הנקודה $A$ על ציר ה־ $y$ , והנקודה $B$ על ציר ה־ $x$ .

x = 0 : y = - \frac{1}{3} \cdot 0 + 2 = 2 \Rightarrow A (0, 2)

y = 0 : 0 = - \frac{1}{3} x + 2 \Rightarrow \frac{1}{3} x = 2 \Rightarrow x = 6

$A (0, 2)$ , $B (6, 0)$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353725 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

כלי 2: שיפוע ומשוואת ישר

שיפוע משתי נקודות

$A (0, 2)$ ו־ $B (6, 0)$ :

m_{A B} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{0 - 2}{6 - 0} = \frac{- 2}{6} = - \frac{1}{3}

✓ מתאים למקדם של $x$ ב־ $y = - \frac{1}{3} x + 2$

משוואת ישר: שיפוע + נקודה

הישר $B C$ : שיפוע $3$ , עובר דרך $B (6, 0)$ :

y - y_{1} = m (x - x_{1})

y - 0 = 3 (x - 6)

y = 3 x - 18

מוצאים את השיפוע (משתי נקודות, או ממאונך / מקביל).
מציבים שיפוע ונקודה ב־ $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , פותחים סוגריים ומבודדים את $y$ .

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353726 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

כלי 3: ישרים מאונכים ומקבילים

מאונכים: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

$B C ⊥ A B$ ו־ $m_{A B} = - \frac{1}{3}$ :

- \frac{1}{3} \cdot m_{B C} = - 1 \Rightarrow m_{B C} = 3

דרך מהירה: הופכים את השבר ומחליפים סימן: $- \frac{1}{3}$ ← $3$

מקבילים: $m_{1} = m_{2}$

ישר המקביל ל־ $y = 2 x + 5$ – גם לו שיפוע $2$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 3 = - 1$ ← זווית ישרה ב־ $B$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353727 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

כלי 4: נקודת חיתוך של שני ישרים

משווים את ה־ $y$ של שתי המשוואות.
פותרים ומוצאים את $x$ .
מציבים את $x$ באחת המשוואות ← $y$ .

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

$C D$ מקבילה לציר ה־ $x$ ועוברת דרך $D (3, 6)$ .

לכן משוואת $C D$ היא $y = 6$ .

$C$ נמצאת על $C D$ וגם על $B C$ :

6 = 3 x - 18 \Rightarrow 3 x = 24 \Rightarrow x = 8

$C (8, 6)$

עוד דוגמה: שני ישרים משופעים

איפה נחתכים $y = 3 x - 18$ ו־ $y = - \frac{1}{3} x + 2$ ?

3 x - 18 = - \frac{1}{3} x + 2

3 x + \frac{1}{3} x = 20 \Rightarrow \frac{10}{3} x = 20 \Rightarrow x = 6

y = 3 \cdot 6 - 18 = 0

$(6, 0)$ – זו הנקודה $B$ ✓

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353728 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

כלי 5: אמצע קטע ואורך קטע

אמצע קטע

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2
$E$ אמצע $B C$ , עם $B (6, 0)$ ו־ $C (8, 6)$ :

x_{E} = \frac{6 + 8}{2} = 7 y_{E} = \frac{0 + 6}{2} = 3

$E (7, 3)$

אורך קטע (מרחק)

$E (7, 3)$ ו־ $D (3, 6)$ :

E D = (7 - 3)^{2} + (3 - 6)^{2}

= 16 + 9 = 25 = 5

קטע מקביל לציר – פשוט ההפרש בשיעורים:

$D (3, 6)$ וגם $C (8, 6)$ ← $D C = 8 - 3 = 5$

שימו לב: בריבוע של מספר שלילי – בסוגריים: $(3 - 6)^{2} = (- 3)^{2} = 9$ , לא $- 9$ .

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353729 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

כלי 6: סוג המשולש, שטח והיקף

שווה שוקיים

מחשבים אורכי צלעות ומראים ששתיים שוות: $E D = D C = 5$ ← $△ E D C$ שווה שוקיים.

ישר זווית

מראים ששתי צלעות מאונכות: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ .

היקף

סכום אורכי הצלעות. בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

E C = (8 - 7)^{2} + (6 - 3)^{2} = 10

P_{△ E D C} = 5 + 5 + 10 \approx 13.16

שטח משולש

כשצלע מקבילה לציר – היא הבסיס, והגובה הוא הפרש שיעורים.

בגרות חורף תשפ״ד (2024) · שאלה 1

$E B$ מקבילה לציר ה־ $x$ , ולכן:

E B = 20 - 0 = 20 h = 9 - 5 = 4

S_{△ E B F} = \frac{E B \cdot h}{2} = \frac{20 \cdot 4}{2} = 40

במשולש ישר זווית: השטח = מכפלת הניצבים חלקי 2.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537210 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (חלק א)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

$A B C D$ מרובע. הקודקוד $A$ על ציר ה־ $y$ , והקודקוד $B$ על ציר ה־ $x$ .
משוואת $A B$ היא $y = - \frac{1}{3} x + 2$ , והצלע $B C$ מאונכת ל־ $A B$ .
$C D$ מקבילה לציר ה־ $x$ , והנקודה $D$ היא $(3, 6)$ .
$E$ היא אמצע הצלע $B C$ .

מציבים $x = 0$ ← $y = 2$ . מציבים $y = 0$ ← $x = 6$ .

$A (0, 2)$ וגם $B (6, 0)$

מאונך: $- \frac{1}{3} \cdot m_{B C} = - 1$ , ולכן $m_{B C} = 3$ . דרך $B (6, 0)$ :

y - 0 = 3 (x - 6)

$B C : y = 3 x - 18$

משוואת $C D$ היא $y = 6$ . מציבים ב־ $B C$ :

6 = 3 x - 18 \Rightarrow x = 8

$C (8, 6)$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537211 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (חלק ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

ד1

$E$ אמצע $B C$ :

x_{E} = \frac{6 + 8}{2} = 7 y_{E} = \frac{0 + 6}{2} = 3

$E (7, 3)$

ד2

להראות ש־ $△ E D C$ שווה שוקיים:

E D = (7 - 3)^{2} + (3 - 6)^{2} = 25 = 5

$D C = 8 - 3 = 5$ (מקבילה לציר ה־ $x$ )

$E D = D C = 5$ ← שווה שוקיים

היקף $△ E D C$ – חסרה הצלע $E C$ :

E C = (8 - 7)^{2} + (6 - 3)^{2} = 1 + 9 = 10

P = 5 + 5 + 10 = 10 + 10

$P \approx 13.16$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537212 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בשיפוע – אותו סדר למעלה ולמטה: $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
מאונך: הופכים את השבר וגם מחליפים סימן. למשל $2$ ← $- \frac{1}{2}$
בפתיחת סוגריים כופלים את שני האיברים: $3 (x - 6) = 3 x - 18$ .
נקודה על ציר ה־ $x$ : מציבים $y = 0$ (ולא $x = 0$ ).

במרחק: מספר שלילי בריבוע – חיובי.
ישר מקביל לציר ה־ $x$ : משוואתו כמו $y = 6$ , ולא $x = 6$ .
„להראות”: כותבים את החישוב ואת המסקנה במילים.
שורש: משאירים $10$ , או מעגלים רק בסוף: $10 \approx 3.16$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537213 / 14

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

נתונות הנקודות $A (2, 1)$ ו־ $B (6, 3)$ .

מצאו את השיפוע של $A B$ .
מצאו את משוואת הישר $A B$ .
מצאו את אמצע הקטע $A B$ .
חשבו את אורך הקטע $A B$ .
מצאו את משוואת הישר המאונך ל־ $A B$ ועובר דרך $B$ , ואת נקודת החיתוך שלו עם ציר ה־ $x$ .

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$m = \frac{3 - 1}{6 - 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$y - 1 = \frac{1}{2} (x - 2)$ ← $y = \frac{1}{2} x$
$(\frac{2 + 6}{2}, \frac{1 + 3}{2}) = (4, 2)$
$4^{2} + 2^{2} = 20 \approx 4.47$
שיפוע $- 2$ : ‏ $y - 3 = - 2 (x - 6)$ ← $y = - 2 x + 15$
$y = 0$ ← $x = 7.5$ ← $(7.5, 0)$

לתרגול: באתר יש 17 שאלות בגרות בגאומטרייה אנליטית, עם פתרון מלא לכל סעיף.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537214 / 14

› לכל המצגות

מצגת הסבר – גאומטרייה אנליטית

גאומטרייה אנליטית

מה נלמד?

המושגים

נקודה (x,y)

ישר y=mx+b

ישר מקביל לציר ה־x

ישר מקביל לציר ה־y

מה יש בנוסחאון?

כלי 1: נקודות על הצירים

כלי 2: שיפוע ומשוואת ישר

שיפוע משתי נקודות

משוואת ישר: שיפוע + נקודה

כלי 3: ישרים מאונכים ומקבילים

מאונכים: m1​⋅m2​=−1

מקבילים: m1​=m2​

כלי 4: נקודת חיתוך של שני ישרים

עוד דוגמה: שני ישרים משופעים

כלי 5: אמצע קטע ואורך קטע

אמצע קטע

אורך קטע (מרחק)

כלי 6: סוג המשולש, שטח והיקף

שווה שוקיים

ישר זווית

היקף

שטח משולש

שאלת בגרות פתורה (חלק א)

שאלת בגרות פתורה (חלק ב)

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

נקודה $(x, y)$

ישר $y = m x + b$

ישר מקביל לציר ה־ $x$

ישר מקביל לציר ה־ $y$

מאונכים: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$

מקבילים: $m_{1} = m_{2}$