גאומטרייה אנליטית

$A$ נמצא על ציר ה־$y$, ולכן $x=0$:

$B$ נמצא על ציר ה־$x$, ולכן $y=0$:

תשובה: $A(0,2),B(6,0)$

שיפוע $AB$ הוא $-\frac{1}{3}$ (המקדם של $x$ במשוואה). $BC\perp AB$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

משוואת הישר דרך $B(6,0)$:

תשובה: $BC:y=3x-18$

$CD$ מקבילה לציר ה־$x$ ועוברת דרך $D(3,6)$, ולכן משוואתה $y=6$. הנקודה $C$ נמצאת על $CD$ ועל $BC$:

תשובה: $C(8,6)$

לפי נוסחת אמצע קטע, עם $B(6,0)$ ו־$C(8,6)$:

תשובה: $E(7,3)$

נחשב את אורכי הצלעות $ED$ ו־$DC$ לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:

$CD$ מקבילה לציר ה־$x$, ולכן אורכה הוא ההפרש בין שיעורי ה־$x$:

$ED=DC=5$, ולכן המשולש $EDC$ שווה שוקיים.

תשובה: $ED=DC=5$, ולכן המשולש שווה שוקיים.

חסרה הצלע $EC$ (מחצית $BC$):

תשובה: $10+\sqrt{10}\approx 13.16$

$E$ היא אמצע $AB$. לפי נוסחת אמצע קטע, עם $A(0,6)$ ו־$B(x_B,y_B)$:

תשובה: $B(6,-6)$

לפי נוסחת השיפוע, עם $A(0,6)$ ו־$B(6,-6)$:

תשובה: $m_{AB}=-2$

$\angle ABC=90^{\circ }$, ולכן $BC\perp AB$, ומכפלת השיפועים היא $-1$:

משוואת הישר דרך $B(6,-6)$:

תשובה: $BC:y=\frac{1}{2}x-9$

על ציר ה־$x$ מתקיים $y=0$:

תשובה: $C(18,0)$

הישר $AD$: בטרפז $AD\parallel BC$, ולכן שיפוע $AD$ שווה לשיפוע $BC$, כלומר $\frac{1}{2}$. בין ארבע המשוואות, רק למשוואה II יש שיפוע $\frac{1}{2}$, והיא גם עוברת דרך $A(0,6)$ (חותכת את ציר ה־$y$ ב־6). לכן $AD$ מתאים למשוואה II.

הישר $CD$: עובר דרך $C(18,0)$. נבדוק את המשוואות שנשארו:

• III: $y=2x-36$: $2\cdot 18-36=0$ ✓ — הנקודה $C$ על הישר.
• IV: $y=2x-30$: $2\cdot 18-30=6\ne 0$ ✗.

לכן $CD$ מתאים למשוואה III.

תשובה: $AD$ – משוואה II, $CD$ – משוואה III.

$D$ היא נקודת החיתוך של $AD$ ו־$CD$:

תשובה: $D(28,20)$

הנקודות $E(3,0)$ ו־$C(18,0)$ נמצאות על ציר ה־$x$, ולכן נבחר את $EC$ כבסיס:

הגובה לבסיס זה הוא המרחק של $D$ מציר ה־$x$, כלומר $y_D=20$.

תשובה: $S_{△ECD}=150$ יחידות שטח.

$A$ נמצא על ציר ה־$x$, ולכן $y=0$. נציב במשוואת $AB$:

תשובה: $A(10,0)$

שיפוע $AB$ הוא $-\frac{1}{2}$. $AB\perp AD$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

משוואת הישר דרך $A(10,0)$:

תשובה: $AD:y=2x-20$

$D$ היא נקודת החיתוך של $AD$ ושל האלכסון $BD$. נשווה:

תשובה: $D(18,16)$

$CD$ מקבילה לציר ה־$x$, ולכן ל־$C$ ול־$D$ אותו שיעור $y$: $y_C=16$.

לפי הסרטוט $C$ נמצא משמאל ל־$D$, ואורך $CD$ הוא 4:

תשובה: $C(14,16)$

$E$ היא אמצע $AD$, עם $A(10,0)$ ו־$D(18,16)$:

$E(14,8)$. נחשב את צלעות המשולש $CDE$:

• $CD=4$ (נתון).
• ל־$C(14,16)$ ול־$E(14,8)$ אותו שיעור $x$, ולכן $CE=16-8=8$.

תשובה: $12+4\sqrt{5}\approx 20.94$

הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה־$y$, ולכן $x=0$. נציב במשוואת $AB$:

תשובה: $A(0,24)$

$\angle ABC=90^{\circ }$, ולכן $BC\perp AB$, ומכפלת השיפועים היא $-1$. שיפוע $AB$ הוא $-\frac{4}{5}$:

משוואת הישר דרך $C(0,-17)$:

תשובה: $BC:y=\frac{5}{4}x-17$

$B$ היא נקודת החיתוך של $AB$ ו־$BC$. נשווה את שתי המשוואות:

תשובה: $B(20,8)$

לפי נוסחת אמצע קטע, עם $A(0,24)$ ו־$B(20,8)$:

תשובה: $E(10,16)$

על ציר ה־$x$ מתקיים $y=0$. נציב במשוואת $BC$:

תשובה: $K(13.6,0)$

$E$ נמצאת על $AB$ ו־$K$ נמצאת על $BC$, ו־$AB\perp BC$. לכן המשולש $EBK$ ישר זווית ב־$B$, והניצבים שלו הם $EB$ ו־$BK$.

נחשב את אורכי הניצבים לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:

שטח משולש ישר זווית הוא מחצית מכפלת הניצבים:

תשובה: $S_{△EBK}=65.6$ יחידות שטח.

$E$ היא אמצע $AB$. לפי נוסחת אמצע קטע, עם $A(-2,0)$ ו־$B(x_B,y_B)$:

תשובה: $B(10,18)$

תשובה: $m_{AB}=1.5$

$\angle BAC=90^{\circ }$, ולכן $AC\perp AB$, ומכפלת השיפועים היא $-1$:

משוואת הישר דרך $A(-2,0)$:

תשובה: $AC:y=-\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}$

$BC$ מקבילה לציר ה־$x$ ועוברת דרך $B(10,18)$, ולכן משוואתה $y=18$. $C$ היא נקודת החיתוך של $BC$ ו־$AC$:

תשובה: $C(-29,18)$

נחשב את אורכי $AD$ ו־$BD$ לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות, עם $D(10,5)$:

$AD=BD$, ולכן המשולש $ADB$ שווה שוקיים.

תשובה: $AD=BD=13$, ולכן המשולש $ADB$ שווה שוקיים.

היקף המרובע $ADBC$ הוא סכום הצלעות $AD+DB+BC+CA$.

• $AD=DB=13$ (סעיף ד).
• $B$ ו־$C$ באותו גובה ($y=18$), ולכן $BC=10-(-29)=39$.

$\sqrt{1053}=\sqrt{81\cdot 13}=9\sqrt{13}$, ולכן אפשר לכתוב גם $P=65+9\sqrt{13}$.

תשובה: $P=65+9\sqrt{13}\approx 97.45$

$B$ נמצא על ציר ה־$y$, ולכן $x=0$. נציב במשוואת $AB$:

$D$ נמצא על ציר ה־$x$, ולכן $y=0$:

תשובה: $B(0,4),D(8,0)$

$D$ היא אמצע $AB$. לפי נוסחת אמצע קטע, עם $B(0,4)$ ו־$A(x_A,y_A)$:

תשובה: $A(16,-4)$

שיפוע $BC$ הוא $\frac{1}{3}$. $\angle ACB=90^{\circ }$, ולכן $AC\perp BC$, ומכפלת השיפועים היא $-1$:

משוואת הישר דרך $A(16,-4)$:

תשובה: $AC:y=-3x+44$

$C$ היא נקודת החיתוך של $BC$ ו־$AC$. נשווה את שתי המשוואות:

תשובה: $C(12,8)$

המשולש ישר זווית ב־$C$, ולכן הניצבים $AC$ ו־$BC$ הם בסיס וגובה. לפי נוסחת המרחק:

תשובה: $S_{△ABC}=80$ יחידות שטח.

האלכסון $AB$ מחלק את המרובע $BCAK$ לשני משולשים: $△ABC$ ו־$△ABK$.

במשולש $ABK$ נבחר את $BK$ כבסיס – הוא מונח על ציר ה־$y$ (בין $B(0,4)$ ל־$K(0,-18)$):

הגובה לבסיס זה הוא המרחק של $A$ מציר ה־$y$, כלומר $x_A=16$:

תשובה: $S_{BCAK}=256$ יחידות שטח.

$A$ נמצא על ציר ה־$y$, ולכן $x=0$. נציב במשוואת $AC$:

$C$ נמצא על ציר ה־$x$, ולכן $y=0$:

תשובה: $A(0,15),C(30,0)$

שיפוע $AC$ הוא $-\frac{1}{2}$. נתון $AC\perp OB$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

הישר $OB$ עובר דרך ראשית הצירים $O(0,0)$:

תשובה: $OB:y=2x$

$E$ היא נקודת החיתוך של $AC$ ו־$OB$. נשווה את שתי המשוואות:

תשובה: $E(6,12)$

$E$ היא אמצע $OB$. לפי נוסחת אמצע קטע, עם $O(0,0)$ ו־$B(x_B,y_B)$:

תשובה: $B(12,24)$

נחשב את אורכי הצלעות $OA$ ו־$AB$ לפי נוסחת המרחק:

($O$ ו־$A$ שניהם על ציר ה־$y$.)

$OA=AB=15$, כלומר במשולש $OAB$ יש שתי צלעות שוות – הוא משולש שווה שוקיים.

דרך נוספת: $AE$ מאונך ל־$OB$ ו־$E$ אמצע $OB$, כלומר $AE$ הוא גם גובה וגם תיכון לצלע $OB$ – ולכן המשולש שווה שוקיים.

תשובה: $OA=AB=15$, ולכן המשולש $OAB$ שווה שוקיים.

$OA=AB=15$ (סעיף ה (1)). נחשב את שתי הצלעות האחרות:

($O$ ו־$C$ שניהם על ציר ה־$x$.)

תשובה: היקף המרובע הוא 90.

לפי נוסחת השיפוע, עם $A(4,14)$ ו־$E(0,2)$:

תשובה: $m_{AE}=3$

$AE$ הוא גובה לבסיס, ולכן $AE\perp BC$, ומכפלת השיפועים היא $-1$:

הישר $BC$ עובר דרך $E(0,2)$:

תשובה: $BC:y=-\frac{1}{3}x+2$

$C$ נמצא על ציר ה־$x$, ולכן $y=0$. נציב במשוואת $BC$:

תשובה: $C(6,0)$

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן $E$ היא אמצע $BC$. לפי נוסחת אמצע קטע, עם $C(6,0)$ ו־$B(x_B,y_B)$:

תשובה: $B(-6,4)$

$BF\parallel AE$, ולכן לישרים שיפוע שווה: $m_{BF}=3$. הישר עובר דרך $B(-6,4)$:

תשובה: $BF:y=3x+22$

נקודת החיתוך עם ציר ה־$y$: נציב $x=0$ במשוואת $BF$ ונקבל $y=22$, כלומר $F(0,22)$.

נחשב את שלוש הצלעות לפי נוסחת המרחק $d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$:

(שתי הנקודות על ציר ה־$y$.)

היקף המשולש:

תשובה: $20+8\sqrt{10}\approx 45.3$ יחידות אורך

$A$ על ציר ה־$x$, ולכן $y=0$. נציב במשוואת $AD$:

$D$ על ציר ה־$y$, ולכן $x=0$:

תשובה: $A(2,0),D(0,4)$

$AD\perp AB$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$. שיפוע $AD$ הוא $-2$:

הישר עובר דרך $A(2,0)$:

תשובה: $AB:y=\frac{1}{2}x-1$

$BE$ מקבילה לציר ה־$x$ ו־$E(0,9)$, ולכן לכל נקודות הישר $BE$ יש $y=9$. גם $B$ נמצאת על $AB$:

תשובה: $B(20,9)$

שיפוע $EF$ הוא $-\frac{1}{3}$ והישר עובר דרך $E(0,9)$ (נקודה על ציר ה־$y$):

תשובה: $EF:y=-\frac{1}{3}x+9$

$F$ היא נקודת החיתוך של $EF$ ו־$AB$. נשווה בין הביטויים של $y$:

נכפול ב־6:

תשובה: $F(12,5)$

הצלע $EB$ מקבילה לציר ה־$x$, ולכן נבחר אותה כבסיס:

הגובה לבסיס זה הוא ההפרש בין שיעורי ה־$y$ של $F$ ושל הישר $EB$:

תשובה: $S_{△EBF}=40$ יחידות שטח.

$C$ על ציר ה־$x$, ולכן $y=0$. נציב במשוואת $AC$:

תשובה: $C(8,0)$

נתון ש־$AC$ מאונך ל־$BC$. שיפוע $AC$ הוא 4, ומכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$:

הישר עובר דרך $C(8,0)$:

תשובה: $BC:y=-\frac{1}{4}x+2$

$A$ היא נקודת החיתוך של $AC$ ו־$AD$. נשווה בין הביטויים של $y$:

תשובה: $A(12,16)$

$B$ על ציר ה־$y$: נציב $x=0$ במשוואת $BC$ ונקבל $y=2$, כלומר $B(0,2)$.

$BD$ מקביל לציר ה־$x$, ולכן לכל נקודות הישר $BD$ יש $y=2$. $D$ נמצאת גם על $AD$:

תשובה: $D(19,2)$

$M$ אמצע $AC$, לפי נוסחת אמצע קטע עם $A(12,16)$ ו־$C(8,0)$:

הצלע $BD$ מקבילה לציר ה־$x$, ולכן נבחר אותה כבסיס:

הגובה לבסיס זה הוא ההפרש בין שיעור ה־$y$ של $M$ לבין $y=2$:

תשובה: $S_{△BMD}=57$ יחידות שטח.

$A$ על ציר ה־$x$, ולכן $y=0$:

$B$ על ציר ה־$y$, ולכן $x=0$:

תשובה: $A(-12,0),B(0,6)$

$E$ היא אמצע $AB$. לפי נוסחת אמצע קטע, עם $A(-12,0)$ ו־$B(0,6)$:

תשובה: $E(-6,3)$

הישר $CB$ עובר דרך $C(-2,0)$ ו־$B(0,6)$. לפי נוסחת השיפוע:

משוואת הישר דרך $B(0,6)$:

תשובה: $CB:y=3x+6$

$EF$ מקביל לציר ה־$x$, ולכן ל־$F$ אותו שיעור $y$ כמו ל־$E$: $y=3$. $F$ על $CB$:

תשובה: $EF=5$

הבסיס $EF=5$ מונח על הישר $y=3$. הגובה מ־$B(0,6)$ אל הבסיס: $h=6-3=3$.

תשובה: $S_{△BEF}=7.5$ יחידות שטח.

$A$ נמצא על ציר ה־$x$, ולכן $y=0$. נציב במשוואת $AB$:

תשובה: $A(-6,0)$

$B$ נמצא על הישר $AB$ ושיעור ה־$y$ שלו הוא 8:

כלומר $B(10,8)$.

תשובה: $x_B=10$

שיפוע $AB$ הוא המקדם של $x$ במשוואה: $m_{AB}=\frac{1}{2}$.

שיפוע $BC$, עם $B(10,8)$ ו־$C(14,0)$:

מכפלת השיפועים: