מצגת הסבר – תכנון ליניארי

15 שקפים · מהסיפור ועד הרווח המקסימלי

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דתכנון ליניארי · מצגת הסבר

תכנון ליניארי

מצגת הסבר – מהסיפור ועד הרווח המקסימלי

מתמטיקה 3 יח״לשאלון 35372תכנית חדשה

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353721 / 15

בס״דתכנון ליניארי · מצגת הסבר

מה נלמד?

בשאלה יש שני סוגים של מוצרים (או פריטים), ויש הגבלות. צריך למצוא כמה מכל סוג כדי שהרווח יהיה הכי גדול (או המחיר הכי קטן).

לכתוב את האילוצים
לסרטט את התחום האפשרי
למצוא את הקודקודים של התחום
לכתוב את פונקציית המטרה $f (x, y)$
להציב את הקודקודים ← מקסימום או מינימום

התחום האפשרי – שקית סוכריות, קיץ תשפ״ו

בנוסחאון של 3 יח״ל אין נוסחה לנושא הזה. כל מה שצריך: לסרטט ישר, לפתור שתי משוואות ולהציב במחשבון.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353722 / 15

בס״דתכנון ליניארי · מצגת הסבר

המושגים

המשתנים $x$ ו־ $y$

בשאלה כתוב מה הם, למשל: $x$ – מספר סוכריות הטופי בשקית, $y$ – מספר סוכריות הגומי.

אילוץ

הגבלה מהסיפור, שנכתבת כאי־שוויון: $5 x + 3 y \leq 210$

התחום האפשרי

כל הנקודות שמקיימות את כל האילוצים. בסרטוט – השטח הצבוע.

פונקציית המטרה

מה שרוצים להגדיל או להקטין (רווח, מחיר): $f (x, y) = 0.5 x + 0.4 y$

הכלל החשובהערך המקסימלי (או המינימלי) של פונקציית המטרה מתקבל תמיד באחד מקודקודי התחום.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353723 / 15

בס״דתכנון ליניארי · מצגת הסבר

שלב 1: מהסיפור לאילוצים

מה כתוב בשאלה	הסימן
„לכל היותר”, „לא יותר מ־”, „המקסימום הוא”	$\leq$
„לפחות”, „לא פחות מ־”, „המינימום הוא”	$\geq$
מספר מוצרים לא יכול להיות שלילי	$x \geq 0, y \geq 0$

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 1

סוכריית טופי שוקלת 5 גרם וסוכריית גומי 3 גרם. משקל השקית לכל היותר 210 גרם, ובשקית לכל היותר 48 סוכריות.

משקל: $x$ סוכריות טופי שוקלות $5 x$ גרם, $y$ סוכריות גומי שוקלות $3 y$ גרם:

$5 x + 3 y \leq 210$

מספר הסוכריות:

$x + y \leq 48$

ועוד: $x \geq 0, y \geq 0$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353724 / 15

בס״דתכנון ליניארי · מצגת הסבר

שלב 2: סרטוט ישר – נקודות החיתוך עם הצירים

הופכים את האילוץ למשוואה ( $\leq$ ← $=$ ).
מציבים $x = 0$ ← מוצאים $y$ : החיתוך עם ציר ה־ $y$ .
מציבים $y = 0$ ← מוצאים $x$ : החיתוך עם ציר ה־ $x$ .
מעבירים ישר דרך שתי הנקודות.

הישר	$x = 0$	$y = 0$
$5 x + 3 y = 210$	$3 y = 210$ ← $(0, 70)$	$5 x = 210$ ← $(42, 0)$
$x + y = 48$	$(0, 48)$	$(48, 0)$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353725 / 15

בס״דתכנון ליניארי · מצגת הסבר

שלב 3: התחום האפשרי – מתחת או מעל?

$\leq$ ← התחום מתחת לישר (לכיוון הראשית).

$\geq$ ← התחום מעל לישר.

בדיקה עם $(0, 0)$

מציבים $x = 0, y = 0$ באילוץ. אם מתקיים – הראשית בתחום, והתחום בצד שלה.

$5 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0 \leq 210$ ✓ ← מתחת לישר

עם $x \geq 0, y \geq 0$ התחום נמצא ברביע הראשון. התחום האפשרי = השטח שמקיים את כל האילוצים יחד.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353726 / 15

בס״דתכנון ליניארי · מצגת הסבר

שלב 4: הקודקודים של התחום

קודקודים על הצירים

על ציר ה־ $y$ התחום נגמר בנקודה הנמוכה יותר מבין $(0, 70)$ ו־ $(0, 48)$ :

$A (0, 48)$

על ציר ה־ $x$ – בנקודה הקרובה יותר לראשית מבין $(42, 0)$ ו־ $(48, 0)$ :

$B (42, 0)$

(כך כשהאילוצים הם $\leq$ . תמיד בודקים מול הסרטוט.)

קודקוד שהוא חיתוך של שני ישרים

$C$ – פותרים את שתי המשוואות יחד, בשיטת השוואת מקדמים (השקף הבא).

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353727 / 15

בס״דתכנון ליניארי · מצגת הסבר

שלב 5: נקודת חיתוך – שיטת השוואת מקדמים

כותבים את שתי משוואות הישרים זו מתחת לזו.
כופלים משוואה (או שתיהן) במספר, כך שהמקדם של $y$ (או של $x$ ) יהיה שווה בשתיהן.
מחסירים את המשוואות – $y$ נעלם ונשאר רק $x$ .
מציבים את $x$ באחת המשוואות ומוצאים את $y$ .

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 1

{5 x + 3 y = 210 x + y = 48 / \cdot 3

{5 x + 3 y = 210 3 x + 3 y = 144

מחסירים את המשוואה השנייה מהראשונה:

2 x = 66 \Rightarrow x = 33

33 + y = 48 \Rightarrow y = 15

$C (33, 15)$

בדיקה מהירה: מציבים את $C$ בשתי המשוואות. $5 \cdot 33 + 3 \cdot 15 = 165 + 45 = 210$ ✓ $33 + 15 = 48$ ✓

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353728 / 15

בס״דתכנון ליניארי · מצגת הסבר

שלב 6: פונקציית המטרה וטבלת הקודקודים

הרווח מסוכריית טופי 0.5 ש״ח ומסוכריית גומי 0.4 ש״ח. הרווח משקית:

$f (x, y) = 0.5 x + 0.4 y$

מציבים כל קודקוד בפונקציית המטרה, ובוחרים את הערך הגדול ביותר (במקסימום) או הקטן ביותר (במינימום).

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 1

קודקוד	$f = 0.5 x + 0.4 y$
$O (0, 0)$	$0$
$B (42, 0)$	$0.5 \cdot 42 = 21$
$C (33, 15)$	$0.5 \cdot 33 + 0.4 \cdot 15$ $= 16.5 + 6 = 22.5$
$A (0, 48)$	$0.4 \cdot 48 = 19.2$

רווח מקסימלי 22.5 ש״ח: 33 סוכריות טופי ו־15 סוכריות גומי

שימו לב: עונים במילים מה צריך לייצר (כמה מכל סוג), ולא רק את הנקודה.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353729 / 15

בס״דתכנון ליניארי · מצגת הסבר

כשמחפשים מינימום ויש אילוץ $\geq$

בגרות חורף תשפ״ג (2023) · שאלה 2

רונן אוכל $x$ מנות בשר ו־ $y$ מנות סלט ביום.

קלוריות – לכל היותר: $4 x + y \leq 32$

חלבון – לפחות: $3 x + y \geq 9$

המחיר: $f (x, y) = 26 x + 12 y$ – רוצים מחיר מינימלי.

$3 x + y \geq 9$ ← התחום מעל הישר.

בדיקה: בנקודה $(0, 0)$ יוצא $0 \geq 9$ – לא נכון, ולכן הראשית לא בתחום.

קודקוד	$f = 26 x + 12 y$
$(3, 0)$	$26 \cdot 3 = 78$
$(8, 0)$	$26 \cdot 8 = 208$
$(0, 32)$	$12 \cdot 32 = 384$
$(0, 9)$	$12 \cdot 9 = 108$

מחיר מינימלי 78 ש״ח: 3 מנות בשר ו־0 מנות סלט

התחום בין שני הישרים – „רצועה”

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537210 / 15

בס״דתכנון ליניארי · מצגת הסבר

האם הנקודה בתחום? בדיקת כל האילוצים

מציבים את הנקודה בכל אחד מהאילוצים.
אם כל האילוצים מתקיימים – הנקודה בתחום, והאפשרות קיימת.
אם אפילו אילוץ אחד לא מתקיים – זה לא ייתכן.

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳ · שאלה 1

האילוצים:

x + y \leq 20150 x + 50 y \leq 1500

האם ייתכן מארז עם 9 חפיסות שוקולד ו־4 חטיפים?

מספר הפריטים: $9 + 4 = 13 \leq 20$ ✓

המשקל: $150 \cdot 9 + 50 \cdot 4 = 1350 + 200$

$= 1550 > 1500$ ✗

לא ייתכן: המשקל יהיה 1,550 גרם, יותר מ־1,500

$(9, 4)$ מחוץ לתחום

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537211 / 15

בס״דתכנון ליניארי · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (חלק א)

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳ · שאלה 1

מארזי שי עם חפיסות שוקולד ( $x$ ) וחטיפים ( $y$ ). חפיסה שוקלת 150 גרם וחטיף 50 גרם. בכל מארז לכל היותר 20 פריטים, ומשקל המארז לכל היותר 1,500 גרם.

מערכת האילוצים:

x + y \leq 20150 x + 50 y \leq 1500 x \geq 0, y \geq 0

הישר	חיתוך עם ציר $y$	חיתוך עם ציר $x$
$x + y = 20$	$(0, 20)$	$(20, 0)$
$150 x + 50 y = 1500$	$(0, 30)$	$(10, 0)$

על ציר ה־ $y$ – הנקודה הנמוכה: $A (0, 20)$

על ציר ה־ $x$ – הנקודה הקרובה: $B (10, 0)$

$C$ – השוואת מקדמים:

{150 x + 50 y = 1500 x + y = 20 / \cdot 50 \Rightarrow {150 x + 50 y = 1500 50 x + 50 y = 1000

100 x = 500 \Rightarrow x = 55 + y = 20 \Rightarrow y = 15

$A (0, 20), B (10, 0), C (5, 15)$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537212 / 15

בס״דתכנון ליניארי · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (חלק ב)

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳ · שאלה 1

הרווח מחפיסה 4 ש״ח ומחטיף 3 ש״ח. פונקציית המטרה:

$f (x, y) = 4 x + 3 y$

מציבים את הקודקודים:

קודקוד	$f = 4 x + 3 y$
$O (0, 0)$	$0$
$B (10, 0)$	$4 \cdot 10 = 40$
$C (5, 15)$	$4 \cdot 5 + 3 \cdot 15 = 20 + 45 = 65$
$A (0, 20)$	$3 \cdot 20 = 60$

(1) 5 חפיסות שוקולד ו־15 חטיפים

(2) הרווח המקסימלי: 65 ש״ח

9 חפיסות ו־4 חטיפים? ראינו: $150 \cdot 9 + 50 \cdot 4 = 1550 > 1500$

לא ייתכן – אילוץ המשקל לא מתקיים

שימו לב: ב־ $A$ יש הכי הרבה פריטים, ובכל זאת המקסימום הוא ב־ $C$ . לכן תמיד בודקים את כל הקודקודים.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537213 / 15

בס״דתכנון ליניארי · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

„לכל היותר” הוא $\leq$ , ו„לפחות” הוא $\geq$ .
לא לשכוח $x \geq 0, y \geq 0$ .
חיתוך עם ציר: מציבים $0$ במשתנה השני.
קודקוד על ציר: בוחרים את הנקודה של התחום (לפי הסרטוט), לא כל נקודת חיתוך.

בהשוואת מקדמים כופלים את כל המשוואה – כל האיברים, גם המספר שבאגף ימין.
מציבים בפונקציית המטרה את כל הקודקודים – גם $O (0, 0)$ אם הוא בתחום.
מקסימום או מינימום? רווח ← מקסימום, מחיר או הוצאה ← מינימום.
תשובה במילים: „5 חפיסות ו־15 חטיפים, רווח 65 ש״ח”.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537214 / 15

בס״דתכנון ליניארי · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

נתונים האילוצים:

x + 2 y \leq 163 x + y \leq 18 x \geq 0 y \geq 0

ופונקציית המטרה: $f (x, y) = 2 x + 3 y$

מצאו את נקודות החיתוך של כל ישר עם הצירים.
מהם הקודקודים של התחום שעל הצירים?
מצאו את נקודת החיתוך של שני הישרים.
באיזה קודקוד $f$ מקסימלית? מה הערך?
האם הנקודה $(5, 5)$ בתחום?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

הישר הראשון: $(0, 8)$ וגם $(16, 0)$
הישר השני: $(0, 18)$ וגם $(6, 0)$
$(0, 8)$ וגם $(6, 0)$ (ובנוסף הראשית $O$ )
כופלים את הראשונה ב־3 ומחסירים:
$5 y = 30 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow x = 4$ ← $(4, 6)$
$f (6, 0) = 12$ $f (4, 6) = 26$ $f (0, 8) = 24$
מקסימום: 26, בנקודה $(4, 6)$
$5 + 2 \cdot 5 = 15 \leq 16$ ✓
$3 \cdot 5 + 5 = 20 > 18$ ✗ ← לא בתחום

לתרגול: באתר יש 17 שאלות בגרות בתכנון ליניארי, עם פתרון מלא ופתרון וידאו.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537215 / 15

› לכל המצגות

מצגת הסבר – תכנון ליניארי

תכנון ליניארי

מה נלמד?

המושגים

המשתנים x ו־y

אילוץ

התחום האפשרי

פונקציית המטרה

שלב 1: מהסיפור לאילוצים

שלב 2: סרטוט ישר – נקודות החיתוך עם הצירים

שלב 3: התחום האפשרי – מתחת או מעל?

בדיקה עם (0,0)

שלב 4: הקודקודים של התחום

קודקודים על הצירים

קודקוד שהוא חיתוך של שני ישרים

שלב 5: נקודת חיתוך – שיטת השוואת מקדמים

שלב 6: פונקציית המטרה וטבלת הקודקודים

כשמחפשים מינימום ויש אילוץ ≥

האם הנקודה בתחום? בדיקת כל האילוצים

שאלת בגרות פתורה (חלק א)

שאלת בגרות פתורה (חלק ב)

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

המשתנים $x$ ו־ $y$

בדיקה עם $(0, 0)$

כשמחפשים מינימום ויש אילוץ $\geq$