תכנון ליניארי

משקל השקית: $x$ סוכריות טופי שוקלות $5x$ גרם, ו־$y$ סוכריות גומי שוקלות $3y$ גרם. המשקל הוא 210 גרם לכל היותר:

מספר הסוכריות בשקית: 48 לכל היותר:

מספר סוכריות אינו יכול להיות שלילי:

תשובה: $5x+3y\le 210$, $x+y\le 48$, $x\ge 0$, $y\ge 0$

נמצא לכל ישר את נקודות החיתוך שלו עם הצירים:

• $5x+3y=210$: עם ציר ה־$y$ ($x=0$): $y=70$; עם ציר ה־$x$ ($y=0$): $x=42$.
• $x+y=48$: עם ציר ה־$y$: $y=48$; עם ציר ה־$x$: $x=48$.

על ציר ה־$y$ התחום נגמר בנקודה הנמוכה יותר, $(0,48)$, ועל ציר ה־$x$ בנקודה הקרובה יותר, $(42,0)$. לפי הסרטוט:

$C$ היא נקודת החיתוך של שני הישרים. נמצא אותה בשיטת השוואת מקדמים: נכפיל את המשוואה השנייה ב־3, כדי שהמקדם של $y$ יהיה שווה בשתי המשוואות:

נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:

תשובה: $A(0,48)$, $B(42,0)$, $C(33,15)$

הרווח מסוכריית טופי הוא 0.5 שקלים ומסוכריית גומי 0.4 שקלים, ולכן הרווח משקית אחת:

תשובה: $f(x,y)=0.5x+0.4y$

הערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום. נציב:

הרווח המקסימלי, 22.5 שקלים, מתקבל בנקודה $C(33,15)$: 33 סוכריות טופי ו־15 סוכריות גומי בשקית.

תשובה: 33 סוכריות טופי ו־15 סוכריות גומי (רווח של 22.5 שקלים לשקית).

חנות א': 38 סוכריות טופי ו־0 סוכריות גומי (בדיקה: $5\cdot 38=190\le 210$ ו־$38\le 48$, השקית אפשרית):

חנות ב': השקית עם הרווח המקסימלי, כלומר 22.5 שקלים (סעיף ג).

הרווח משקית לחנות א' קטן ב־3.5 שקלים מהרווח משקית לחנות ב'.

תשובה: ב־3.5 שקלים.

נסרטט את הישרים של האילוצים (נמצא לכל ישר שתי נקודות על הצירים):

• $x+5y=100$: עובר דרך $(0,20)$ ודרך $(100,0)$.
• $x+2y=58$: עובר דרך $(0,29)$ ודרך $(58,0)$.

האילוצים הם מסוג „קטן או שווה”, ולכן התחום נמצא מתחת לשני הישרים (בדיקה: הנקודה $(0,0)$ מקיימת את שני האילוצים). יחד עם $x\ge 0,y\ge 0$ התחום נמצא ברביע הראשון.

נקודת החיתוך של שני הישרים, בשיטת השוואת מקדמים (המקדם של $x$ זהה בשתי המשוואות, ולכן נחסר אותן):

נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:

נציב $y=14$ במשוואה השנייה:

התחום האפשרי הוא המרובע שקודקודיו $(0,0),(58,0),(30,14),(0,20)$.

תשובה: התחום הוא המרובע שקודקודיו $(0,0),(58,0),(30,14),(0,20)$ (ראו סרטוט).

הרווח ממנה צמחונית הוא 25 ש״ח וממנה בשרית 55 ש״ח, ולכן:

תשובה: $f(x,y)=25x+55y$

הערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום. נציב:

הרווח המקסימלי הוא 1520 ש״ח, בנקודה $(30,14)$.

תשובה: 30 מנות צמחוניות ו־14 מנות בשריות (רווח של 1520 ש״ח).

ירידה של 10%: מכפילים ב־$0.9$. עלייה של 20%: מכפילים ב־$1.2$.

תשובה: מנה צמחונית: 22.5 ש״ח, מנה בשרית: 66 ש״ח.

האילוצים לא השתנו, ולכן התחום האפשרי זהה. פונקציית המטרה החדשה: $f(x,y)=22.5x+66y$.

הרווח המקסימלי החדש הוא 1599 ש״ח (שוב בנקודה $(30,14)$).

תשובה: הרווח המקסימלי גדל ב־79 ש״ח.

מכונת התערובת: כל עוגה (משני הסוגים) דורשת 4 דקות, והמכונה פועלת 48 דקות לכל היותר:

תנור האפייה: עוגת שוקולד – 20 דקות, עוגת גבינה – 60 דקות, והתנור פועל 360 דקות לכל היותר:

מספר העוגות אינו יכול להיות שלילי:

תשובה: $4x+4y\le 48$, $20x+60y\le 360$, $x\ge 0$, $y\ge 0$

נמצא לכל ישר את נקודות החיתוך שלו עם הצירים:

• $4x+4y=48$: עם ציר ה־$y$ ($x=0$): $y=12$; עם ציר ה־$x$ ($y=0$): $x=12$.
• $20x+60y=360$: עם ציר ה־$y$: $y=6$; עם ציר ה־$x$: $x=18$.

על ציר ה־$y$ התחום נגמר בנקודה הנמוכה יותר, ועל ציר ה־$x$ בנקודה הקרובה יותר. לפי הסרטוט:

$C$ היא נקודת החיתוך של שני הישרים. נמצא אותה בשיטת השוואת מקדמים: נכפיל את המשוואה הראשונה ב־5, כדי שהמקדם של $x$ יהיה שווה בשתי המשוואות:

נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה:

תשובה: $A(0,6)$, $B(12,0)$, $C(9,3)$

הרווח מעוגת שוקולד הוא 47 שקלים ומעוגת גבינה 60 שקלים, ולכן:

תשובה: $f(x,y)=47x+60y$

הערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום. נציב:

הרווח המקסימלי, 603 שקלים, מתקבל בנקודה $C(9,3)$: 9 עוגות שוקולד ו־3 עוגות גבינה.

תשובה: 9 עוגות שוקולד ו־3 עוגות גבינה (רווח של 603 שקלים).

במחזור עם הפסקת החשמל הכינו 9 עוגות שוקולד ו־2 עוגות גבינה:

הרווח המקסימלי במחזור רגיל הוא 603 שקלים (סעיף ג):

הרווח קטן ב־60 שקלים.

תשובה: ב־60 שקלים.

$x$ – ק״ג סלט גזר, $y$ – ק״ג סלט כרוב (במחזור ייצור אחד).

מכונת הקיצוץ: קילוגרם גזר דורש 6 דקות קיצוץ וקילוגרם כרוב 3 דקות, ואפשר להפעיל את המכונה 42 דקות לכל היותר:

מכונת הערבוב: קילוגרם גזר דורש 2 דקות ערבוב וקילוגרם כרוב 4 דקות, לכל היותר 35 דקות:

כמויות אינן שליליות:

תשובה: $\{\begin{array}{l}6x+3y\le 42\\ 2x+4y\le 35\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

נסרטט את הישרים של האילוצים (נמצא לכל ישר שתי נקודות על הצירים):

• $6x+3y=42$: עובר דרך $(0,14)$ ודרך $(7,0)$.
• $2x+4y=35$: עובר דרך $(0,8.75)$ ודרך $(17.5,0)$.

האילוצים הם מסוג „קטן או שווה”, ולכן התחום נמצא מתחת לשני הישרים (בדיקה: הנקודה $(0,0)$ מקיימת את שני האילוצים). יחד עם $x\ge 0,y\ge 0$ התחום נמצא ברביע הראשון.

נקודת החיתוך של שני הישרים, בשיטת השוואת מקדמים: נכפיל את המשוואה השנייה ב־3, כך שהמקדם של $x$ יהיה 6 בשתי המשוואות, ונחסר:

התחום האפשרי הוא המרובע שקודקודיו $(0,0),(7,0),(3.5,7),(0,8.75)$.

תשובה: התחום הוא המרובע שקודקודיו $(0,0),(7,0),(3.5,7),(0,8.75)$.

הרווח מקילוגרם סלט גזר הוא 26 ש״ח ומקילוגרם סלט כרוב 30 ש״ח, ולכן:

תשובה: $f(x,y)=26x+30y$

הערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום. נציב:

הרווח המקסימלי הוא 301 ש״ח, בנקודה $(3.5,7)$: מייצרים 3.5 ק״ג סלט גזר ו־7 ק״ג סלט כרוב.

תשובה: 3.5 ק״ג סלט גזר ו־7 ק״ג סלט כרוב (רווח של 301 ש״ח).

$x$ – מספר חפיסות השוקולד במארז, $y$ – מספר החטיפים במארז.

מספר הפריטים: בכל מארז יש לכל היותר 20 פריטים:

המשקל: חפיסה שוקלת 150 גרם וחטיף 50 גרם, ומשקל המארז לכל היותר 1,500 גרם:

מספר הפריטים אינו שלילי:

תשובה: $\{\begin{array}{l}x+y\le 20\\ 150x+50y\le 1500\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

נמצא לכל ישר שתי נקודות על הצירים:

• $150x+50y=1500$: עובר דרך $(10,0)$ ודרך $(0,30)$.
• $x+y=20$: עובר דרך $(20,0)$ ודרך $(0,20)$.

התחום נמצא מתחת לשני הישרים (ראו סרטוט).

הנקודה $A$ נמצאת על ציר ה־$y$. שם הישר הנמוך יותר הוא $x+y=20$ (הוא חותך את ציר ה־$y$ ב־20, והישר השני ב־30). נציב $x=0$:

הנקודה $B$ נמצאת על ציר ה־$x$. שם הישר הקרוב יותר לראשית הוא $150x+50y=1500$. נציב $y=0$:

$C$ היא נקודת החיתוך של שני הישרים. בשיטת השוואת מקדמים: נכפיל את המשוואה $x+y=20$ ב־50, כך שהמקדם של $y$ יהיה 50 בשתי המשוואות, ונחסר:

לכן $C(5,15)$.

תשובה: $A(0,20),B(10,0),C(5,15)$

הרווח מחפיסת שוקולד הוא 4 ש״ח ומחטיף 3 ש״ח, ולכן:

תשובה: $f(x,y)=4x+3y$

הערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום. נציב:

הערך המקסימלי מתקבל בנקודה $C(5,15)$: 5 חפיסות שוקולד ו־15 חטיפים.

תשובה: 5 חפיסות שוקולד ו־15 חטיפים.

לפי הטבלה בסעיף ד (1):

תשובה: 65 ש״ח.

נבדוק אם הנקודה $(9,4)$ מקיימת את כל האילוצים.

מספר הפריטים – מתקיים:

המשקל – לא מתקיים:

אילוץ המשקל לא מתקיים (הנקודה מחוץ לתחום האפשרי), ולכן לא ייתכן מארז כזה.

תשובה: לא. המשקל יהיה 1,550 גרם, יותר מ־1,500 גרם.

$x$ – מספר הספות, $y$ – מספר הכורסאות במחזור ייצור אחד.

מכונת החיתוך: ספה דורשת 4 שעות וכורסה 2 שעות, ואפשר להפעיל את המכונה 32 שעות לכל היותר:

מכונת הריפוד: ספה דורשת 2 שעות וכורסה 6 שעות, לכל היותר 36 שעות:

מספר הרהיטים אינו שלילי:

תשובה: $4x+2y\le 32,2x+6y\le 36,x\ge 0,y\ge 0$

נסרטט את הישרים של האילוצים (נמצא לכל ישר שתי נקודות על הצירים):

• $4x+2y=32$: עובר דרך $(0,16)$ ודרך $(8,0)$.
• $2x+6y=36$: עובר דרך $(0,6)$ ודרך $(18,0)$.

האילוצים הם מסוג „קטן או שווה”, ולכן התחום נמצא מתחת לשני הישרים (בדיקה: הנקודה $(0,0)$ מקיימת את שני האילוצים). יחד עם $x\ge 0,y\ge 0$ התחום נמצא ברביע הראשון.

נקודת החיתוך של שני הישרים – בשיטת השוואת מקדמים: נכפיל את המשוואה השנייה ב־2, כדי שהמקדמים של $x$ יהיו שווים, ונחסר:

נחסר את המשוואה העליונה מהתחתונה (ה־$4x$ מתבטלים):

נציב $y=4$ במשוואה $4x+2y=32$:

התחום האפשרי הוא המרובע שקודקודיו $(0,0),(8,0),(6,4),(0,6)$.

תשובה: מרובע שקודקודיו $(0,0),(8,0),(6,4),(0,6)$

הרווח מכל ספה הוא 400 ש״ח ומכל כורסה 700 ש״ח, ולכן:

תשובה: $f(x,y)=400x+700y$

הערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום. נציב:

הרווח המקסימלי הוא 5200 ש״ח, בנקודה $(6,4)$: יש לייצר 6 ספות ו־4 כורסאות.

תשובה: 6 ספות ו־4 כורסאות (רווח של 5200 ש״ח).

מייצרים כורסאות בלבד, כלומר $x=0$. נציב באילוצים:

שני האילוצים צריכים להתקיים יחד, ולכן $y\le 6$. בסרטוט: על ציר ה־$y$ התחום מגיע עד הקודקוד $(0,6)$.

המספר המקסימלי של כורסאות הוא 6.

תשובה: 6 כורסאות.

$x$ – טונות של אבקה ביתית, $y$ – טונות של אבקה תעשייתית במחזור ייצור אחד.

מכונה א' (ערבוב): טונה ביתית דורשת 6 שעות וטונה תעשייתית 4 שעות, לכל היותר 33 שעות:

מכונה ב' (אריזה): טונה ביתית דורשת 5 שעות וטונה תעשייתית 15 שעות, לכל היותר 45 שעות:

הכמויות אינן שליליות:

תשובה: $6x+4y\le 33,5x+15y\le 45,x\ge 0,y\ge 0$

נסרטט את הישרים של האילוצים (נמצא לכל ישר שתי נקודות על הצירים):

• $6x+4y=33$: עובר דרך $(0,8.25)$ ודרך $(5.5,0)$.
• $5x+15y=45$: עובר דרך $(0,3)$ ודרך $(9,0)$.

האילוצים הם מסוג „קטן או שווה”, ולכן התחום נמצא מתחת לשני הישרים (בדיקה: הנקודה $(0,0)$ מקיימת את שני האילוצים). יחד עם $x\ge 0,y\ge 0$ התחום נמצא ברביע הראשון.

נקודת החיתוך של שני הישרים – בשיטת השוואת מקדמים: נכפיל את המשוואה הראשונה ב־5 ואת השנייה ב־6, כדי שהמקדמים של $x$ יהיו שווים, ונחסר:

נחסר את המשוואה העליונה מהתחתונה (ה־$30x$ מתבטלים):

נציב $y=1.5$ במשוואה $6x+4y=33$:

התחום האפשרי הוא המרובע שקודקודיו $(0,0),(5.5,0),(4.5,1.5),(0,3)$.

תשובה: מרובע שקודקודיו $(0,0),(5.5,0),(4.5,1.5),(0,3)$

הרווח מטונה של אבקה ביתית הוא 8,000 ש״ח ומטונה של אבקה תעשייתית 10,000 ש״ח, ולכן:

תשובה: $f(x,y)=8000x+10000y$

הערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום. נציב:

הרווח המקסימלי הוא 51,000 ש״ח, בנקודה $(4.5,1.5)$: כדאי לייצר 4.5 טונות של אבקה ביתית ו־1.5 טונות של אבקה תעשייתית.

תשובה: 4.5 טונות של אבקה ביתית ו־1.5 טונות של אבקה תעשייתית (רווח של 51,000 ש״ח).

הרווח היה 50,000 ש״ח, וייצרו $y=2$ טונות של אבקה תעשייתית. נציב בפונקציית המטרה:

תשובה: 3.75 טונות של אבקה ביתית.

לפי הטבלה: במארז א' 12 סבונים ו־3 קרמים, במארז ב' 8 סבונים ו־6 קרמים.

סבונים (לכל היותר 240):

קרמים (לכל היותר 132):

מספר המארזים אינו שלילי:

אפשר לצמצם: הראשון ב־4 והשני ב־3:

תשובה: $12x+8y\le 240,3x+6y\le 132,x\ge 0,y\ge 0$

הרווח ממארז א' הוא 25 ש״ח וממארז ב' 20 ש״ח, ולכן:

תשובה: $f(x,y)=25x+20y$

נסרטט את ישרי האילוצים (שתי נקודות על הצירים לכל ישר):

• $3x+2y=60$: עובר דרך $(0,30)$ ו־$(20,0)$ (הישר התלול).
• $x+2y=44$: עובר דרך $(0,22)$ ו־$(44,0)$ (הישר המתון).

שני האילוצים מסוג „קטן או שווה”, ולכן התחום נמצא מתחת לשני הישרים (הנקודה $(0,0)$ מקיימת את שניהם), ברביע הראשון. זה השטח המקווקו בסרטוט 1.

תשובה: סרטוט 1

נמצא את נקודת החיתוך של שני הישרים בשיטת השוואת מקדמים (המקדם של $y$ זהה בשתי המשוואות, ולכן נחסר אותן):

נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:

נציב $x=8$ במשוואה השנייה:

הערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום. נציב:

הרווח המקסימלי, 560 ש״ח, מתקבל בנקודה $(8,18)$.

תשובה: 8 מארזים מסוג א' ו־18 מארזים מסוג ב' (רווח 560 ש״ח).

אילוץ הקרמים מתהפך: לפחות 132 קרמים, כלומר $3x+6y\ge 132$ (או $x+2y\ge 44$). אילוץ הסבונים לא השתנה: $3x+2y\le 60$.

לכן התחום נמצא מעל הישר המתון $x+2y=44$ ומתחת לישר התלול $3x+2y=60$, ליד ציר ה־$y$: המשולש שקודקודיו $(0,22),(0,30)$ ו־$(8,18)$ (נקודת החיתוך של שני הישרים, שמצאנו בסעיף ד).

זה השטח המקווקו בסרטוט 3.

תשובה: סרטוט 3

התחום האפור נמצא מעל הישר $BC$ ומתחת לישר $AC$, ברביע הראשון. נבדוק עם נקודה בתוך התחום, למשל $(1,8)$:

• $8\ge 1+4=5$ ✓ — כלומר $y\ge x+4$ (מעל $BC$).
• $8\le -0.5\cdot 1+13=12.5$ ✓ — כלומר $y\le -0.5x+13$ (מתחת ל־$AC$).

יחד עם $x\ge 0,y\ge 0$ זו מערכת I.

תשובה: מערכת I

על כל סוכרייה ($x$) הרווח 2 ש״ח ועל כל מסטיק ($y$) שקל אחד:

תשובה: $f(x,y)=2x+y$

נמצא את קודקודי התחום:

$A$ ו־$B$ נמצאות על ציר ה־$y$, ולכן נציב $x=0$:

• בישר $AC$: $y=-0.5\cdot 0+13=13$, כלומר $A(0,13)$.
• בישר $BC$: $y=0+4=4$, כלומר $B(0,4)$.

$C$ הוא נקודת החיתוך של $BC$ ו־$AC$. נכתוב את שתי המשוואות בצורה $ax+by=c$ ונמצא את החיתוך בשיטת השוואת מקדמים (המקדם של $y$ זהה, ולכן נחסר):

נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:

נציב $x=6$ במשוואה הראשונה:

הערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום. נציב את הקודקודים:

הרווח המקסימלי, 22 ש״ח בדקה, מתקבל בנקודה $C(6,10)$: 6 סוכריות ו־10 מסטיקים.

תשובה: 6 סוכריות ו־10 מסטיקים בדקה (רווח 22 ש״ח).

נבדוק אם הנקודה $(5,5)$ מקיימת את כל האילוצים של מערכת I. נציב $x=5,y=5$ באילוץ $y\ge x+4$:

זה לא נכון ✗. האילוץ לא מתקיים (הנקודה נמצאת מתחת לישר $BC$, מחוץ לתחום האפשרי), ולכן לא ייתכן שהמפעל מייצר 5 סוכריות ו־5 מסטיקים בדקה.

תשובה: לא — הנקודה $(5,5)$ אינה בתחום האפשרי.

שטח השדה (לכל היותר 11 דונם):

ימי עבודה (2 ימים לדונם בצל, 7 ימים לדונם גזר, לכל היותר 42):

מספר הדונמים אינו שלילי:

תשובה: $x+y\le 11,2x+7y\le 42,x\ge 0,y\ge 0$

הרווח מדונם בצל 800 ש״ח ומדונם גזר 1,200 ש״ח:

תשובה: $f(x,y)=800x+1200y$

נמצא את קודקודי התחום. נקודות החיתוך עם הצירים:

• הישר $x+y=11$ חותך את ציר ה־$x$ בנקודה $(11,0)$.
• הישר $2x+7y=42$ חותך את ציר ה־$y$ בנקודה $(0,6)$.

נקודת החיתוך של שני הישרים, בשיטת השוואת מקדמים: נכפול את המשוואה הראשונה ב־2 כדי שהמקדם של $x$ יהיה זהה, ונחסר:

נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה:

נציב $y=4$ במשוואה $x+y=11$:

הערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום. נציב:

ההכנסה המקסימלית, 10,400 ש״ח, מתקבלת בנקודה $(7,4)$: 7 דונם בצל ו־4 דונם גזר.

תשובה: 7 דונם בצל ו־4 דונם גזר (רווח 10,400 ש״ח).

האילוצים לא השתנו, ולכן התחום האפשרי זהה. פונקציית המטרה החדשה:

הערך המקסימלי מתקבל באחד מקודקודי התחום. נבדוק את הקודקודים:

הרווח המקסימלי הוא 8,800 ש״ח, והוא מתקבל בשני קודקודים סמוכים — ולכן בכל נקודה על הצלע שביניהם, כלומר בכל נקודה בתחום שבה $x+y=11$.

נבדוק כל אפשרות. אפשרות 2 נמצאת בתחום: $9+2=11\le 11$ וגם $2\cdot 9+7\cdot 2=32\le 42$.

תשובה: אפשרויות 1 ו־2 (בשתיהן רווח של 8,800 ש״ח).

• בצק: פיצה משפחתית 300 גרם, אישית 100 גרם, לכל היותר 2700 גרם:
  $300x+100y\le 2700$
  $\iff 3x+y\le 27$
• זמן אפייה: 12 דקות ו־8 דקות, לכל היותר 2 שעות = 120 דקות (אופים פיצה אחת בכל פעם, ולכן הזמנים מתחברים):
  $12x+8y\le 120$
  $\iff 3x+2y\le 30$
• $x\ge 0,y\ge 0$

תשובה: $3x+y\le 27,3x+2y\le 30,x\ge 0,y\ge 0$

• $3x+y=27$: עובר דרך $(9,0)$ ו־$(0,27)$.
• $3x+2y=30$: עובר דרך $(10,0)$ ו־$(0,15)$.

שני האילוצים מסוג ≤, ולכן התחום מתחת לשני הישרים. נקודת החיתוך, בשיטת השוואת מקדמים (המקדם של $x$ זהה, ולכן נחסר את המשוואות):

נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:

נציב $y=3$ במשוואה $3x+y=27$:

התחום הוא המרובע שקודקודיו $(0,0),(9,0),(8,3),(0,15)$.

תשובה: מרובע שקודקודיו $(0,0),(9,0),(8,3),(0,15)$.

רווח נקי של 25 ש״ח לפיצה משפחתית ו־18 ש״ח לפיצה אישית:

תשובה: $f(x,y)=25x+18y$

הערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום. נציב את הקודקודים:

המקסימום מתקבל ב־$(0,15)$: 0 פיצות משפחתיות ו־15 פיצות אישיות.

תשובה: הרווח המקסימלי הוא 270 ש״ח.

מעתיקים לטבלה את הנתונים מהשאלה:

תשובה: מאפה עם שומשום: 80 גרם בצק, 4 גרם שומשום (רווח 4 ש״ח); מאפה בלי שומשום: 100 גרם בצק, 0 גרם שומשום (רווח 2 ש״ח).

יש 20 ק״ג בצק, כלומר $20,000$ גרם. מאפה בלי שומשום אינו צורך שומשום, ולכן רק כמות הבצק מגבילה:

תשובה: 200 מאפים.

בצק: כל מאפה עם שומשום צורך 80 גרם וכל מאפה בלי שומשום 100 גרם, ויש לכל היותר $20,000$ גרם:

שומשום: רק המאפים עם שומשום צורכים אותו, 4 גרם כל אחד, ויש לכל היותר 640 גרם:

אי־שליליות: מספר מאפים אינו שלילי:

תשובה: $80x+100y\le 20,000$, $4x\le 640$, $x\ge 0$, $y\ge 0$

נסרטט את הישרים של האילוצים:

• $80x+100y=20,000$: עובר דרך $(0,200)$ ודרך $(250,0)$.
• $x=160$: ישר אנכי.

התחום נמצא מתחת לישר הבצק ומשמאל לישר $x=160$ (בדיקה: $(0,0)$ מקיימת את שני האילוצים), ברביע הראשון.

נקודת החיתוך של שני הישרים: על הישר האנכי $x=160$, ולכן נציב $x=160$ במשוואת ישר הבצק:

נקודת החיתוך: $(160,72)$.

התחום האפשרי הוא המרובע שקודקודיו $(0,0),(160,0),(160,72),(0,200)$.

תשובה: התחום הוא המרובע שקודקודיו $(0,0),(160,0),(160,72),(0,200)$ (ראו סרטוט).

הרווח ממאפה עם שומשום הוא 4 ש״ח וממאפה בלי שומשום 2 ש״ח, ולכן:

תשובה: $f(x,y)=4x+2y$

הערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום. נציב:

הרווח המקסימלי הוא 784 ש״ח, בנקודה $(160,72)$.

תשובה: 784 ש״ח (160 מאפים עם שומשום ו־72 בלי שומשום).

קלוריות: כל מנת בשר 224 קלוריות וכל מנת סלט 56 קלוריות, ולכל היותר 1,792 קלוריות ביום:

חלבון: כל מנת בשר 45 גרם חלבון וכל מנת סלט 15 גרם, ולפחות 135 גרם ביום:

אי־שליליות: מספר מנות אינו שלילי:

אפשר לצמצם את האילוצים (נחלק את הראשון ב־56 ואת השני ב־15):

תשובה: $224x+56y\le 1792$, $45x+15y\ge 135$, $x\ge 0$, $y\ge 0$

נסרטט את הישרים של האילוצים (נמצא לכל ישר את נקודות החיתוך עם הצירים):

• $4x+y=32$: עובר דרך $(0,32)$ ודרך $(8,0)$.
• $3x+y=9$: עובר דרך $(0,9)$ ודרך $(3,0)$.

אילוץ הקלוריות הוא „קטן או שווה”, ולכן התחום מתחת לישר $4x+y=32$. אילוץ החלבון הוא „גדול או שווה”, ולכן התחום מעל לישר $3x+y=9$ (בדיקה: הנקודה $(0,0)$ מקיימת $0\le 32$ אבל לא $0\ge 9$). יחד עם $x\ge 0,y\ge 0$ התחום הוא „רצועה” ברביע הראשון בין שני הישרים.

שני הישרים אינם נחתכים ברביע הראשון. נבדוק בשיטת השוואת מקדמים (המקדם של $y$ זהה, נחסר):

נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:

נציב במשוואה הראשונה:

$y<0$, ולכן נקודת החיתוך מחוץ לתחום. קודקודי התחום הם נקודות החיתוך של הישרים עם הצירים.

התחום האפשרי הוא המרובע שקודקודיו $(3,0),(8,0),(0,32),(0,9)$.

תשובה: התחום הוא המרובע שקודקודיו $(3,0),(8,0),(0,32),(0,9)$ (ראו סרטוט).

מנת בשר עולה 26 ש״ח ומנת סלט 12 ש״ח. פונקציית המטרה היא המחיר הכולל:

תשובה: $f(x,y)=26x+12y$

רונן רוצה לשלם את המחיר הנמוך ביותר, ולכן מחפשים את הערך המינימלי של פונקציית המטרה. הוא מתקבל באחד מקודקודי התחום:

המחיר המינימלי הוא 78 ש״ח, בנקודה $(3,0)$: 3 מנות בשר ואף מנת סלט.

תשובה: 3 מנות בשר ו־0 מנות סלט ירוק (מחיר 78 ש״ח).

האילוצים לא השתנו, ולכן התחום זהה. פונקציית המטרה החדשה: $f(x,y)=37x+12y$.

המינימום עבר לנקודה $(0,9)$: 108 ש״ח. לכן חל שינוי – רונן צריך לאכול 9 מנות סלט ירוק ואף מנת בשר (במקום 3 מנות בשר).

תשובה: כן. עכשיו המחיר הנמוך ביותר (108 ש״ח) מתקבל ב־0 מנות בשר ו־9 מנות סלט.

מפעל ב' כולל את האילוץ $y\le 60$. הישר $y=60$ הוא ישר אופקי, והתחום נמצא מתחתיו. רק בגרף 1 יש לתחום צלע עליונה אופקית (הקטע $AB$), ולכן גרף 1 מתאים למפעל ב'.

מפעל א': האילוצים $y\le x+30$ ו־$y\ge 2x-20$ הם שני ישרים משופעים שנחתכים ברביע הראשון, והתחום הוא „משולש מחודד” ביניהם – כמו בגרף 2. נבדוק את הנקודות על הצירים:

• $y=x+30$ חותך את ציר ה־$y$ ב־$(0,30)$ – זו הנקודה $P$.
• $y=2x-20$ חותך את ציר ה־$x$ ב־$(10,0)$ – זו הנקודה $E$.

לכן גרף 2 מתאים למפעל א'.

תשובה: גרף 2 מתאים למפעל א', וגרף 1 מתאים למפעל ב'.

הרווח מחולצה ארוכה ($x$) הוא 50 ש״ח ומחולצה קצרה ($y$) 30 ש״ח:

תשובה: $f(x,y)=50x+30y$

נמצא את קודקודי התחום של כל מפעל ונציב בפונקציית המטרה.

מפעל א' (גרף 2): $O(0,0)$, $E(10,0)$, $P(0,30)$, ו־$K$ – חיתוך הישרים. נכתוב אותם בצורה $y-2x=-20$ ו־$y-x=30$. נמצא את $K$ בשיטת השוואת מקדמים (המקדם של $y$ זהה בשתי המשוואות):

נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:

נציב $x=50$ במשוואה $y-x=30$:

מפעל ב' (גרף 1): $O(0,0)$, $C(20,0)$ (חיתוך $y=x-20$ עם ציר ה־$x$), $A(0,60)$, ו־$B$ – חיתוך $y=60$ עם $y-x=-20$. נציב $y=60$ במשוואה השנייה: