מצגת הסבר – גופים במרחב

13 שקפים · נפח, שטח פנים ושטח מעטפת

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דגופים במרחב · מצגת הסבר

גופים במרחב

מצגת הסבר – נפח, שטח פנים ושטח מעטפת

מתמטיקה 3 יח״לשאלון 35372תכנית חדשהלפי הנוסחאון

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353721 / 13

בס״דגופים במרחב · מצגת הסבר

מה נלמד?

שאלות „מהחיים”: קופסה, אקווריום, גביע גלידה, נר. מחשבים:

נפח של גוף – כמה הוא מכיל
שטח פנים ושטח מעטפת – כמה חומר צריך לבנות אותו
מקצוע, גובה או רדיוס חסרים – בעזרת נפח או פיתגורס
השוואות: כמה נכנס, מה גדול יותר, האם מספיק

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353722 / 13

בס״דגופים במרחב · מצגת הסבר

המושגים

נפח $V$

כמה מקום הגוף תופס / מכיל. ביחידות מעוקבות: סמ״ק, מ״ק.

שטח פנים $F$

סכום השטחים של כל הפאות – כולל הבסיסים. ביחידות ריבועיות: סמ״ר, מ״ר.

שטח מעטפת $M$

רק הפאות הצדדיות – בלי הבסיסים. למשל נייר של גביע גלידה.

בסיס $S$ וגובה $h$

$S$ – שטח הבסיס. $h$ – הגובה, מאונך לבסיס.

שימושי: ‏1 ליטר = 1,000 סמ״ק. ‏היקף מעגל $2 π R$ , ושטח עיגול $π R^{2}$ .

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353723 / 13

בס״דגופים במרחב · מצגת הסבר

מה יש בנוסחאון? (1)

📘 מהנוסחאון – גאומטרייה במרחב

הגוף	נפח $V$	שטח פנים $F$	שטח מעטפת $M$
תיבה	$V = a \cdot b \cdot h$	$F = M + 2 \cdot a \cdot b$	$M = 2 (a \cdot h + b \cdot h)$
קובייה	$V = a^{3}$	$F = 6 \cdot a^{2}$	$M = 4 \cdot a^{2}$
מנסרה ישרה (בסיס משולש)	$V = S \cdot h$	$F = M + 2 \cdot S$	$M = h \cdot P$
פירמידה ישרה	$V = \frac{S \cdot h}{3}$	$F = M + S$	סכום שטחי הפאות הצדדיות

$S$ – שטח הבסיס, ‏ $P$ – היקף הבסיס, ‏ $h$ – הגובה

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353724 / 13

בס״דגופים במרחב · מצגת הסבר

מה יש בנוסחאון? (2)

📘 מהנוסחאון – גופים עגולים

הגוף	נפח $V$	שטח פנים $F$	שטח מעטפת $M$
גליל ישר	$V = π \cdot R^{2} \cdot h$	$F = M + 2 \cdot π \cdot R^{2}$	$M = 2 \cdot π \cdot R \cdot h$
חרוט ישר	$V = \frac{π \cdot R ^{2} \cdot h}{3}$	$F = M + π \cdot R^{2}$	$M = π \cdot R \cdot ℓ$
כדור	$V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot R^{3}$	$F = 4 \cdot π \cdot R^{2}$

$R$ – רדיוס הבסיס (או הכדור), ‏ $ℓ$ – הקו היוצר של החרוט

📘 משפט פיתגורס

a^{2} + b^{2} = c^{2}

(במשולש ישר זווית,

c

– היתר)

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353725 / 13

בס״דגופים במרחב · מצגת הסבר

כלי 1: נפח – מציבים בנוסחה

תיבה

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 6

אקווריום: ‏60 על 30 ס״מ, גובה 40 ס״מ.

V = a \cdot b \cdot h = 60 \cdot 30 \cdot 40

$72, 000$ סמ״ק

גליל

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 6

מסנן: ‏ $R = 6$ , ‏ $h = 18$ .

V = π \cdot 6^{2} \cdot 18 = π \cdot 36 \cdot 18

= 648 π \approx 2035.75

בערך $2035.75$ סמ״ק

עם $π$ : כותבים קודם את התוצאה המדויקת ( $648 π$ ), ורק בסוף מעגלים.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353726 / 13

בס״דגופים במרחב · מצגת הסבר

כלי 2: מוצאים מידה חסרה

כותבים את נוסחת הנפח (או השטח).
מציבים את כל מה שידוע ואת הנפח הנתון.
פותרים משוואה ומוצאים את המידה החסרה.

בגרות חורף תשפ״ג (2023) · שאלה 5

נפח קובייה 27 סמ״ק. מהו המקצוע?

a^{3} = 27 \Rightarrow a = 327 = 3

בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד א׳ · שאלה 4

פירמידה שבסיסה ריבוע בצלע 4, ונפחה 64 סמ״ק. מה גובהה?

שטח הבסיס: $S = 4 \cdot 4 = 16$

\frac{S \cdot h}{3} = 64 \Rightarrow \frac{16 \cdot h}{3} = 64

16 h = 192 \Rightarrow h = 12

12 ס״מ

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353727 / 13

בס״דגופים במרחב · מצגת הסבר

כלי 3: פיתגורס בחרוט ובפירמידה

$h$ , ‏ $R$ ו־ $ℓ$ – משולש ישר זווית, $ℓ$ הוא היתר

בגרות חורף תשפ״ג (2023) · שאלה 4

גביע גלידה: חרוט עם $R = 4$ ו־ $h = 12$ . מצאו את הקו היוצר.

ℓ^{2} = R^{2} + h^{2} = 4^{2} + 1 2^{2} = 16 + 144 = 160

ℓ = 160 \approx 12.65

שטח הנייר = שטח המעטפת:

M = π \cdot R \cdot ℓ = π \cdot 4 \cdot 160 \approx 158.95

בפירמידה: גובה הפירמידה, חצי צלע הבסיס וגובה הפאה הצדדית – גם הם משולש ישר זווית.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353728 / 13

בס״דגופים במרחב · מצגת הסבר

כלי 4: שטח פנים ושטח מעטפת

קודם מבינים מה מכסים

קופסה סגורה ← שטח פנים $F$ (כל הפאות)
קופסה בלי מכסה ← $F$ פחות בסיס אחד
גביע / צינור / תווית ← רק מעטפת $M$

בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד ב׳ · שאלה 5

בכל קובייה (צלע 4 ס״מ) ציפו 5 פאות – העליונה וארבע הצדדיות.

4^{2} = 165 \cdot 16 = 80

ב־30 קוביות:

30 \cdot 80 = 2400

$2, 400$ סמ״ר

שימו לב: שטח ביחידות ריבועיות (סמ״ר), נפח ביחידות מעוקבות (סמ״ק).

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353729 / 13

בס״דגופים במרחב · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 6

אקווריום בצורת תיבה: בסיס 60 על 30 ס״מ, וגובה 40 ס״מ.
מסנן א׳ הוא גליל: רדיוס 6 ס״מ וגובה 18 ס״מ. נפח מסנן ב׳ הוא 1,500 סמ״ק.
לפי התקן, נפח המסנן צריך להיות לפחות 2% מנפח האקווריום.

נפח האקווריום:

V = 60 \cdot 30 \cdot 40 = 72, 000

$72, 000$ סמ״ק

ב1

נפח מסנן א׳:

V = π \cdot 6^{2} \cdot 18 = 648 π \approx 2035.75

ב2

2% מנפח האקווריום:

0.02 \cdot 72, 000 = 1, 440

מסנן א׳: $2035.75 \geq 1440$ ✓

מסנן ב׳: $1500 \geq 1440$ ✓

שני המסננים מתאימים

נפח המים הגדול ביותר עם מסנן א׳:

72, 000 - 648 π \approx 69, 964.25

בערך $69, 964.25$ סמ״ק

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537210 / 13

בס״דגופים במרחב · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה: גביע גלידה

בגרות חורף תשפ״ג (2023) · שאלה 4

נפח הגביע – חרוט עם $R = 4$ ו־ $h = 12$ :

V = \frac{π \cdot 4 ^{2} \cdot 12}{3} = \frac{192 π}{3} = 64 π \approx 201.06

גביע „אקסטרים”: גובה פי 1.25, אותו רדיוס. הוזמנו 48 גביעים.

h = 1.25 \cdot 12 = 15

V = \frac{π \cdot 4 ^{2} \cdot 15}{3} = 80 π

48 \cdot 80 π = 3840 π \approx 12, 063.7

בערך $12, 063.7$ סמ״ק

סעיפים ב–ג (קו יוצר ומעטפת) – בשקופית „פיתגורס”

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537211 / 13

בס״דגופים במרחב · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

פירמידה וחרוט – לא לשכוח לחלק ב־3.
רדיוס ולא קוטר: אם נתון קוטר – מחלקים ב־2.
בריבוע קודם: מחשבים $R^{2}$ , ורק אחר כך כופלים.
מעטפת או פנים? קוראים מה בדיוק מכסים.

יחידות: סמ״ר לשטח, סמ״ק לנפח. ‏1 ליטר = 1,000 סמ״ק.
$π$ : משאירים עד הסוף, מעגלים רק בתשובה.
„כמה נכנסים” – מעגלים כלפי מטה.
„האם מספיק” – משווים ועונים במילים.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537212 / 13

בס״דגופים במרחב · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

גליל: ‏ $R = 5$ ס״מ, ‏ $h = 10$ ס״מ. מה נפחו?
מה שטח המעטפת של הגליל?
חרוט: ‏ $R = 6$ ו־ $h = 8$ . מה אורך הקו היוצר?
מה נפח החרוט?
פירמידה שבסיסה ריבוע בצלע 6, ונפחה 96 סמ״ק. מה גובהה?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$π \cdot 25 \cdot 10 = 250 π \approx$ 785.4 סמ״ק
$2 π \cdot 5 \cdot 10 = 100 π \approx$ 314.16 סמ״ר
$ℓ^{2} = 36 + 64 = 100$ ← $ℓ = 10$
$\frac{π \cdot 36 \cdot 8}{3} = 96 π \approx$ 301.59 סמ״ק
$\frac{36 \cdot h}{3} = 96$ ← $12 h = 96$ ← $h = 8$

לתרגול: באתר יש 17 שאלות בגרות בגופים, עם פתרון מלא ופתרון וידאו.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537213 / 13

› לכל המצגות

מצגת הסבר – גופים במרחב

גופים במרחב

מה נלמד?

המושגים

נפח V

שטח פנים F

שטח מעטפת M

בסיס S וגובה h

מה יש בנוסחאון? (1)

מה יש בנוסחאון? (2)

כלי 1: נפח – מציבים בנוסחה

תיבה

גליל

כלי 2: מוצאים מידה חסרה

כלי 3: פיתגורס בחרוט ובפירמידה

כלי 4: שטח פנים ושטח מעטפת

קודם מבינים מה מכסים

שאלת בגרות פתורה

שאלת בגרות פתורה: גביע גלידה

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

נפח $V$

שטח פנים $F$

שטח מעטפת $M$

בסיס $S$ וגובה $h$