גופים במרחב

נפח תיבה (נוסחאון): $V=a\cdot b\cdot h$, כאשר $a,b$ מקצועות הבסיס ו־$h$ הגובה:

תשובה: 72,000 סמ״ק.

נפח גליל: $V=\pi \cdot R^2\cdot h$, עם $R=6,h=18$:

תשובה: $648\pi \approx 2035.75$ סמ״ק.

נחשב 2% מנפח האקווריום – זה הנפח המינימלי של המסנן:

• מסנן א': $2035.75\ge 1440$ ✓
• מסנן ב': $1500\ge 1440$ ✓

שני המסננים מתאימים לדרישות התקן.

תשובה: שני המסננים מתאימים (שניהם לפחות 1,440 סמ״ק).

המסנן תופס חלק מנפח האקווריום, ולכן נפח המים הגדול ביותר הוא נפח האקווריום פחות נפח המסנן:

תשובה: $72,000-648\pi \approx 69,964.25$ סמ״ק.

בחרוט ישר, הגובה, רדיוס הבסיס והקו היוצר יוצרים משולש ישר זווית שהיתר שלו הוא הקו היוצר $\ell$. לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $\ell =75$ ס״מ.

שטח המעטפת של חרוט (נוסחאון): $M=\pi \cdot R\cdot \ell$. נסמן ב־$M_1$ את שטח המעטפת של קונוס אחד:

לשלושה קונוסים:

תשובה: $4725\pi \approx 14,844$ סמ״ר.

גובה העמוד: $h=3\cdot 72=216$ ס״מ. נפח גליל: $V=\pi \cdot R^2\cdot h$.

($R$ אורך, ולכן חיובי.)

תשובה: $R=4$ ס״מ.

שטח המעטפת של גליל (נוסחאון): $M=2\pi \cdot R\cdot h$. נסמן ב־$M_2$ את שטח המעטפת של העמוד ($R=4$, $h=216$):

$1728\pi <4725\pi$, ולכן שטח המעטפת של העמוד קטן משטח המעטפת של שלושת הקונוסים.

תשובה: קטן ($1728\pi <4725\pi$).

נפח תיבה (נוסחאון): $V=a\cdot b\cdot h$. הבסיס ריבוע שצלעו 6.5 ס״מ, והגובה 24 ס״מ:

תשובה: 1,014 סמ״ק.

שטח המעטפת של גליל (נוסחאון): $M=2\pi \cdot R\cdot h$. נציב $R=3$ ו־$M=48\pi$:

תשובה: 8 ס״מ.

נפח גליל: $V=\pi \cdot R^2\cdot h$:

תשובה: $72\pi \approx 226.2$ סמ״ק.

בכל כוס רוצים 85% מנפח הכוס:

ל־7 כוסות:

$1345.9>1014$, ולכן כמות החלב שבקרטון לא תספיק.

תשובה: לא. צריך כ־1,345.9 סמ״ק חלב, ובקרטון יש רק 1,014 סמ״ק.

נסמן ב־$a$ את צלע הבסיס. הנפח של תיבה שבסיסה ריבוע:

תשובה: $\sqrt{62.5}\approx 7.9$ ס״מ.

שטח המעטפת של תיבה הוא סכום שטחי הפאות הצדדיות (בלי שני הבסיסים). לפי הנוסחאון, עם $a=62,b=64,h=84$:

תשובה: $M=21,168$ סמ״ר.

נפח גליל (נוסחאון): $V=\pi \cdot R^2\cdot h$, עם $R=28,h=50$:

תשובה: $V=39,200\pi \approx 123,150.4$ סמ״ק.

נפח התוף הוא כ־$123,150.4$ סמ״ק (סעיף ב). נבדוק באיזו שורה של הטבלה הוא נמצא:

לכן משקל הבגדים המקסימלי שאפשר לכבס בהפעלה אחת במכונה של חיים הוא 9 ק״ג.

תשובה: 9 ק״ג.

גובה הגליל בתוף של אייל קטן ב־12 ס״מ:

הרדיוס זהה, $R=28$:

לכן משקל הבגדים המקסימלי במכונה של אייל הוא 7 ק״ג.

תשובה: 7 ק״ג (נפח התוף כ־$93,594.3$ סמ״ק).

המקרר הוא תיבה שבסיסה ריבוע: $a=b=75,h=180$. לפי הנוסחאון $V=a\cdot b\cdot h$:

תשובה: $V=1,012,500$ סמ״ק.

הגובה בין שני מדפים סמוכים הוא 15% מגובה המקרר:

תשובה: 27 ס״מ.

נפח גליל (נוסחאון): $V=\pi \cdot R^2\cdot h$. נציב $R=10$ ו־$V=1400\pi$:

תשובה: $h=14$ ס״מ.

שטח המעטפת של גליל (נוסחאון): $M=2\pi \cdot R\cdot h$. נציב $R=12$ ו־$M=672\pi$:

הגובה בין שני מדפים סמוכים הוא 27 ס״מ (סעיף ב). $28>27$, ולכן אי אפשר להכניס את סיר ב' בין שני מדפים סמוכים.

תשובה: לא. גובה סיר ב' הוא 28 ס״מ, יותר מ־27 ס״מ.

נר מסוג א' הוא פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע. נפח פירמידה (נוסחאון): $V=\frac{S\cdot h}{3}$, כאשר $S$ הוא שטח הבסיס.

נסמן ב־$V_1$ את נפח נר מסוג א':

תשובה: 144 סמ״ק.

נר מסוג ב' הוא חרוט ישר. נפח חרוט (נוסחאון): $V=\frac{\pi \cdot R^2\cdot h}{3}$, עם $R=4,h=10$:

נסמן ב־$V_2$ את נפח נר מסוג ב':

$167.55>144$: נפח השעווה של נר מסוג ב' גדול יותר, ולכן נר מסוג ב' ידלק זמן ארוך יותר.

תשובה: נר מסוג ב'. נפח השעווה שלו בערך 167.55 סמ״ק, יותר מ־144 סמ״ק.

בחרוט ישר, הגובה, רדיוס הבסיס והקו היוצר יוצרים משולש ישר זווית שהיתר שלו הוא הקו היוצר $\ell$. לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $\ell =\sqrt{116}\approx 10.77$ ס״מ.

שטח המעטפת של חרוט (נוסחאון): $M=\pi \cdot R\cdot \ell$.

תשובה: $M\approx 135.34$ סמ״ר.

נחשב כמה שעווה דרושה להזמנה ($V_1$, $V_2$ – הנפחים מסעיפים א ו־ב).

300 נרות מסוג א':

250 נרות מסוג ב':

סך הכול:

$85,088>60,000$, ולכן 60,000 סמ״ק שעווה לא יספיקו להזמנה.

תשובה: לא. דרושים בערך 85,088 סמ״ק, יותר מ־60,000 סמ״ק.

נפח תיבה (נוסחאון): $V=a\cdot b\cdot h$.

תשובה: 1,920 סמ״ק.

גובה העוגה הוא 4 ס״מ – בדיוק צלע של קובייה אחת, ולכן יש שכבה אחת של קוביות. נבדוק כמה קוביות נכנסות לאורך כל צלע בסיס:

בדיקה בעזרת נפחים: נפח קובייה $4^3=64$ סמ״ק, ו־$1920:64=30$.

תשובה: 30 קוביות.

בכל קובייה ציפו 5 פאות (העליונה וארבע הצדדיות). כל פאה היא ריבוע שצלעו 4 ס״מ, ושטחה:

השטח המצופה בקובייה אחת:

ב־30 הקוביות:

תשובה: 2,400 סמ״ר.

היקף מעגל שרדיוסו $R$ הוא $2\pi R$. נתון שהיקף הבסיס הוא $3\pi$:

תשובה: $R=1.5$ ס״מ.

נפח חרוט (נוסחאון): $V=\frac{\pi \cdot R^2\cdot h}{3}$, עם $R=1.5,h=2$:

על כל אחת מ־30 הקוביות יש חרוט אחד:

תשובה: $45\pi \approx 141.37$ סמ״ק.

נפח פירמידה (נוסחאון): $V=\frac{S\cdot h}{3}$, כאשר $S$ שטח הבסיס ו־$h$ הגובה.

תשובה: 20 סמ״ק.

$F$ אמצע הצלע $AB$ (בפירמידה ישרה גובה הפאה הצדדית יורד לאמצע צלע הבסיס), ו־$O$ מרכז הריבוע. לכן $OF$ שווה לחצי צלע הבסיס:

המשולש $SOF$ ישר זווית ($\angle SOF=90^{\circ }$, כי $SO$ גובה הפירמידה). לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $SF=4.25$ ס״מ.

המדבקה מכסה פאה צדדית אחת, שהיא משולש שבסיסו צלע הבסיס $AB=4$ וגובהו $SF=4.25$:

תשובה: 8.5 סמ״ר.

רדיוס בסיס החרוט: $R=\frac{1}{2}\cdot 4=2$. גובהו שווה לגובה הפירמידה: $h=3.75$.

נפח חרוט (נוסחאון): $V=\frac{\pi \cdot R^2\cdot h}{3}$

תשובה: $5\pi \approx 15.71$ סמ״ק.

נפח השוקולד במארז אחד (2 פירמידות וחרוט):

כמה מארזים אפשר להכין מ־170 סמ״ק:

מספר המארזים הוא מספר שלם, ולכן אפשר להכין 3 מארזים לכל היותר (ל־4 מארזים צריך כ־222.8 סמ״ק).

תשובה: 3 מארזים לכל היותר.

נפח תיבה: אורך $\times$ רוחב $\times$ גובה.

תשובה: 780 מ״ק.

הקירות החיצוניים הם ארבע הפאות הצדדיות של התיבה (שטח המעטפת). שתי פאות הן $25\times 2.4$ ושתיים הן $13\times 2.4$:

(או: היקף הבסיס כפול הגובה: $2\cdot (25+13)\cdot 2.4=76\cdot 2.4=182.4$.)

תשובה: 182.4 מ״ר.

גובה בריכת הילדים הוא $\frac{1}{3}$ מגובה בריכת המבוגרים (2.4 מטרים):

תשובה: 0.8 מטרים.

נסמן את הצלע הקצרה של הבסיס ב־$a$. הצלע האחרת גדולה פי 2, כלומר $2a$. הגובה $0.8$ והנפח 40 מ״ק:

($a$ אורך, ולכן חיובי.) הצלע האחרת: $2\cdot 5=10$.

תשובה: 5 מטרים ו־10 מטרים.

נפח תיבה: אורך $\times$ רוחב $\times$ גובה.

תשובה: 1,800 סמ״ק.

גדול ב־40% פירושו כפול $1.4$:

תשובה: 2,520 סמ״ק.

מידות הקופסה האפורה: $21,x,1.2x$. הנפח שלה 2,520 סמ״ק:

($x$ אורך, ולכן חיובי.) מידות הקופסה: $21\times 10\times 12$.

תשובה: $x=10$ ס״מ.

כמות הצבע תלויה בשטח הפנים של התיבה, כלומר בסכום השטחים של שש הפאות:

הקופסה הלבנה ($12\times 25\times 6$):

הקופסה האפורה ($21\times 10\times 12$):

$1164>1044$, ולכן רועי השתמש בכמות צבע גדולה יותר לקופסה האפורה.

תשובה: בקופסה האפורה: שטח הפנים שלה 1,164 סמ״ר, לעומת 1,044 סמ״ר בלבנה.

נפח תיבה: $V=a\cdot b\cdot h$

תשובה: 896 סמ״ק.

נתון שנפח קופסת התיבה גדול פי 2 מנפח קופסת הפירמידה. נסמן ב־$V_P$ את נפח קופסת הפירמידה:

תשובה: 448 סמ״ק.

נפח פירמידה: $V=\frac{S\cdot h}{3}$, עם $S=8^2=64$:

תשובה: 21 ס״מ.

נסמן ב־$p$ את מספר קופסאות הפירמידה. אז יש $40-p$ קופסאות תיבה, והנפח הכולל:

בדיקה: $24\cdot 896+16\cdot 448=21,504+7,168=28,672$ ✓

תשובה: 16 קופסאות בצורת פירמידה.

מלחייה מסוג א' היא תיבה שבסיסה ריבוע בצלע 4 ס״מ וגובהה 10 ס״מ. נפח תיבה = שטח הבסיס · הגובה:

תשובה: 160 סמ״ק.

נתון שנפח מלחייה מסוג ב' קטן ב־96 סמ״ק מנפח מלחייה מסוג א' (160 סמ״ק, מסעיף א):

נסמן ב־$V_2$ את נפח מלחייה מסוג ב':

תשובה: 64 סמ״ק.

נפח פירמידה (נוסחאון): $V=\frac{S\cdot h}{3}$, כאשר $S$ שטח הבסיס. הבסיס זהה לבסיס של התיבה: $S=4\cdot 4=16$.

תשובה: 12 ס״מ.

נפח המלח בכל מלחייה הוא 75% מנפחה:

• מלחייה מסוג א': $0.75\cdot 160=120$ סמ״ק מלח.
• מלחייה מסוג ב': $0.75\cdot 64=48$ סמ״ק מלח.

נסמן ב־$n$ את מספר המלחיות מסוג ב'. אז מספר המלחיות מסוג א' הוא $n+8$. נפח המלח הכולל הוא 3,144 סמ״ק:

מסוג א' סידרו $13+8=21$ מלחיות. בדיקה:

תשובה: 13 מלחיות מסוג ב'.

הגביע הוא חרוט עם $R=4$ ו־$h=12$. נפח חרוט (נוסחאון):

תשובה: $64\pi \approx 201.06$ סמ״ק.

בחרוט ישר, הגובה, רדיוס הבסיס והקו היוצר יוצרים משולש ישר זווית שהיתר שלו הוא הקו היוצר $\ell$. לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $\ell =\sqrt{160}\approx 12.65$ ס״מ.

הגביע עשוי נייר רק במעטפת (הגלידה בפתח למעלה), ולכן שטח הנייר הוא שטח המעטפת של החרוט: $M=\pi \cdot R\cdot \ell$.

תשובה: $4\sqrt{160}\pi \approx 158.95$ סמ״ר.

גובה גביע אקסטרים גדול פי 1.25 מגובה גביע רגיל, והרדיוס זהה:

נפח גביע אקסטרים אחד:

הוזמנו 48 גביעים:

תשובה: $3840\pi \approx 12,063.7$ סמ״ק.

הפאה הצדדית $SBC$ היא משולש שווה שוקיים ($SB=SC=2.6$). $SE$ הוא הגובה לבסיס $BC$, ולכן הוא גם תיכון: $E$ היא אמצע $BC$.

במשולש ישר הזווית $SEB$ (הזווית הישרה ב־$E$), לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $SE=2.4$ מטר.

שטח פאה צדדית אחת (משולש שבסיסו $BC=2$ וגובהו $SE=2.4$):

לפירמידה 4 פאות צדדיות זהות:

תשובה: 9.6 מ״ר.

$O$ הוא מרכז ריבוע הבסיס, ו־$E$ אמצע הצלע $BC$. לכן $OE$ שווה לחצי צלע הבסיס:

$SO$ הוא גובה הפירמידה, ולכן $SO\perp OE$. במשולש ישר הזווית $SOE$ (הזווית הישרה ב־$O$), לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $SO\approx 2.18$ מטר.

בחרוט ישר, הגובה $KM$, רדיוס הבסיס $MA$ והקו היוצר $KA$ יוצרים משולש ישר זווית (הזווית הישרה ב־$M$) שהיתר שלו הוא הקו היוצר. לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $R=1.2$ מטר.

שטח המעטפת של חרוט (נוסחאון): $M=\pi \cdot R\cdot \ell$.

תשובה: $2.4\pi \approx 7.54$ מ״ר.

נשווה את הגבהים של שני האוהלים:

• גובה הפירמידה (סעיף א (3)): $SO\approx 2.18$ מטר.
• גובה החרוט (נתון): $KM=1.6$ מטר.

$2.18>1.6$, ולכן האוהל הגבוה ביותר הוא האוהל בצורת פירמידה, ואותו מיכל תקנה.

תשובה: אוהל בצורת פירמידה (גובהו כ־2.18 מ׳, וגובה החרוט 1.6 מ׳).

רדיוס הבסיס הוא חצי מהקוטר: $R=\frac{2.4}{2}=1.2$ ס״מ. המשולש $ADC$ ישר זווית ב־$D$ (הגובה מאונך לבסיס), והקו היוצר $AC$ הוא היתר:

תשובה: $\ell \approx 9.08$ ס״מ.

שטח מעטפת של חרוט: $M=\pi \cdot R\cdot \ell$

תשובה: $M\approx 34.2$ סמ״ר.

הקרם ממלא חרוט בגודל של תבנית המתכת. נפח חרוט: $V=\frac{\pi \cdot R^2\cdot h}{3}$

תשובה: $4.32\pi \approx 13.57$ סמ״ק.

גדול ב־10%: מכפילים ב־$1.1$.

תשובה: 2.64 ס״מ.

קטן ב־10%: מכפילים ב־$0.9$.

תשובה: 8.1 ס״מ.

הרדיוס החדש: $R=\frac{2.64}{2}=1.32$ ס״מ. הנפח החדש:

$14.78>13.57$, ולכן נפח המאפה החדש גדול יותר — מרים צודקת. (הגדלת הרדיוס משפיעה יותר, כי הוא מופיע בריבוע בנוסחת הנפח.)

תשובה: כן, מרים צודקת: $14.78>13.57$ סמ״ק.

נפח קובייה: $V=a^3$

תשובה: 64 סמ״ק.

נפח פירמידה: $V=\frac{S\cdot h}{3}$, ושטח הבסיס הריבועי $S=6^2=36$:

תשובה: 48 סמ״ק.

במארז אחד: $64+48=112$ סמ״ק.

אפשר להכין רק מספר שלם של מארזים, ולכן 5.

תשובה: 5 מארזים.

מכינים 5 מארזים, וכל אחד דורש 112 סמ״ק. מה שנשאר מתוך 590 סמ״ק:

תשובה: 30 סמ״ק.

נפח הנר הקטן הוא 30 סמ״ק והגובה 3.6 ס״מ. נסמן ב־$a$ את צלע הבסיס, כך ש־$S=a^2$:

($a$ אורך, ולכן חיובי.)

תשובה: 5 ס״מ.

נפח תיבה (נוסחאון): $V=a\cdot b\cdot h$, עם בסיס ריבועי $12\times 12$ וגובה 16:

תשובה: 2304 סמ״ק.

נתון שנפח התיבה גדול פי 2 מנפח הפירמידה. נסמן ב־$V_P$ את נפח הפירמידה:

תשובה: 1152 סמ״ק.

נפח פירמידה: $V=\frac{S\cdot h}{3}$, ושטח הבסיס הריבועי $S=12\cdot 12=144$:

תשובה: 24 ס״מ.

הנפח של 45 קופסאות התיבה:

הנפח שנשאר לקופסאות הפירמידה:

מספר קופסאות הפירמידה:

תשובה: 35 קופסאות בצורת פירמידה.