בגרות חורף תשפ״ג (2023)

קלוריות: כל מנת בשר 224 קלוריות וכל מנת סלט 56 קלוריות, ולכל היותר 1,792 קלוריות ביום:

חלבון: כל מנת בשר 45 גרם חלבון וכל מנת סלט 15 גרם, ולפחות 135 גרם ביום:

אי־שליליות: מספר מנות אינו שלילי:

אפשר לצמצם את האילוצים (נחלק את הראשון ב־56 ואת השני ב־15):

תשובה: $224x+56y\le 1792$, $45x+15y\ge 135$, $x\ge 0$, $y\ge 0$

נסרטט את הישרים של האילוצים (נמצא לכל ישר את נקודות החיתוך עם הצירים):

• $4x+y=32$: עובר דרך $(0,32)$ ודרך $(8,0)$.
• $3x+y=9$: עובר דרך $(0,9)$ ודרך $(3,0)$.

אילוץ הקלוריות הוא „קטן או שווה”, ולכן התחום מתחת לישר $4x+y=32$. אילוץ החלבון הוא „גדול או שווה”, ולכן התחום מעל לישר $3x+y=9$ (בדיקה: הנקודה $(0,0)$ מקיימת $0\le 32$ אבל לא $0\ge 9$). יחד עם $x\ge 0,y\ge 0$ התחום הוא „רצועה” ברביע הראשון בין שני הישרים.

שני הישרים אינם נחתכים ברביע הראשון. נבדוק בשיטת השוואת מקדמים (המקדם של $y$ זהה, נחסר):

נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:

נציב במשוואה הראשונה:

$y<0$, ולכן נקודת החיתוך מחוץ לתחום. קודקודי התחום הם נקודות החיתוך של הישרים עם הצירים.

התחום האפשרי הוא המרובע שקודקודיו $(3,0),(8,0),(0,32),(0,9)$.

תשובה: התחום הוא המרובע שקודקודיו $(3,0),(8,0),(0,32),(0,9)$ (ראו סרטוט).

מנת בשר עולה 26 ש״ח ומנת סלט 12 ש״ח. פונקציית המטרה היא המחיר הכולל:

תשובה: $f(x,y)=26x+12y$

רונן רוצה לשלם את המחיר הנמוך ביותר, ולכן מחפשים את הערך המינימלי של פונקציית המטרה. הוא מתקבל באחד מקודקודי התחום:

המחיר המינימלי הוא 78 ש״ח, בנקודה $(3,0)$: 3 מנות בשר ואף מנת סלט.

תשובה: 3 מנות בשר ו־0 מנות סלט ירוק (מחיר 78 ש״ח).

האילוצים לא השתנו, ולכן התחום זהה. פונקציית המטרה החדשה: $f(x,y)=37x+12y$.

המינימום עבר לנקודה $(0,9)$: 108 ש״ח. לכן חל שינוי – רונן צריך לאכול 9 מנות סלט ירוק ואף מנת בשר (במקום 3 מנות בשר).

תשובה: כן. עכשיו המחיר הנמוך ביותר (108 ש״ח) מתקבל ב־0 מנות בשר ו־9 מנות סלט.