התפלגות נורמלית

לפי עקומת ההתפלגות הנורמלית, השטח משמאל ל־$\bar{x}+S$ הוא:

נתון ש־84% מהלקוחות קנו בפחות מ־750 שקלים, ולכן 750 נמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע:

תשובה: סטיית התקן היא 120 שקלים.

במלבן האמצעי כותבים את הממוצע, ובכל צעד מוסיפים או מורידים חצי סטיית תקן: $\frac{1}{2}\cdot 120=60$.

תשובה: משמאל לימין: מ־330 עד 930 בקפיצות של 60 (באמצע – הממוצע 630).

$510=630-120=\bar{x}-S$ ו־$750=\bar{x}+S$. נחבר את האחוזים שבין שני הערכים:

תשובה: 68%

952 לקוחות הם 68% מכל הלקוחות (סעיף ב). נסמן ב־$N$ את מספר הלקוחות:

תשובה: 1400 לקוחות.

ציון תקן 0.8 פירושו שסכום הקנייה נמצא 0.8 סטיות תקן מעל הממוצע:

$726<730$, ולכן דניאל אינו זכאי למתנה – הוא טועה.

אם יוסיף פריט של 5 שקלים:

ואז יהיה זכאי למתנה. לכן הקופאי צודק.

תשובה: הקופאי צודק: דניאל קנה ב־726 שקלים (לא זכאי), ועם עוד 5 שקלים – 731 שקלים (זכאי).

לפי עקומת ההתפלגות הנורמלית, השטח משמאל ל־$\bar{x}-S$ הוא:

נתון ש־16% מהחשבונות נמוכים מ־400 ש״ח, ולכן 400 נמצא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע:

תשובה: הממוצע הוא 560 ש״ח.

על הציר מסמנים את הממוצע ובכל צעד מוסיפים או מורידים חצי סטיית תקן: $\frac{1}{2}\cdot 160=80$.

תשובה: משמאל לימין: 160, 240, 320, 400, 480, 560, 640, 720, 800, 880, 960.

400 הוא $\bar{x}-S$ ו־800 הוא $\bar{x}+1.5S$. נחבר את האחוזים שבין שני הערכים:

תשובה: 77%

1232 דירות הן 77% מכל הדירות. נסמן ב־$N$ את מספר הדירות:

תשובה: 1600 דירות.

ציון תקן 2.3 פירושו שהחשבון נמצא 2.3 סטיות תקן מעל הממוצע:

$928>900$, ולכן החשבון גבוה מ־900 ש״ח והדייר קיבל הודעה.

תשובה: כן, החשבון הוא 928 ש״ח, יותר מ־900 ש״ח.

לפי עקומת ההתפלגות הנורמלית, השטח משמאל ל־$\bar{x}-1.5S$ הוא:

נתון ש־7% מהשליחים נסעו פחות מ־810 ק״מ, ולכן 810 נמצא 1.5 סטיות תקן מתחת לממוצע:

תשובה: סטיית התקן היא 440 ק״מ.

במלבן האמצעי כותבים את הממוצע, ובכל צעד מוסיפים או מורידים חצי סטיית תקן: $\frac{1}{2}\cdot 440=220$.

תשובה: משמאל לימין: מ־370 עד 2570 בקפיצות של 220 (באמצע – הממוצע 1470).

$1910=1470+440=\bar{x}+S$. בין הממוצע ל־$\bar{x}+S$ יש שני שטחים:

תשובה: 34%

170 שליחים הם 34% מכל השליחים (סעיף ב). נסמן ב־$N$ את מספר השליחים:

תשובה: 500 שליחים.

נחשב את ציון התקן של המרחק של דני:

$2.3<2.6$, ולכן דני לא קיבל תוספת לשכר.

תשובה: לא. ציון התקן של דני הוא 2.3, נמוך מ־2.6.

לפי עקומת ההתפלגות הנורמלית, השטח משמאל ל־$\bar{x}-S$ הוא:

נתון ש־16% מהתוצאות נמוכות מ־1.2 מטר, ולכן 1.2 נמצא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע:

תשובה: התוצאה הממוצעת היא 1.4 מטר.

על הציר מסמנים את הממוצע ובכל צעד מוסיפים או מורידים חצי סטיית תקן: $\frac{1}{2}\cdot 0.2=0.1$.

תשובה: מ־0.9 עד 1.9 בקפיצות של 0.1 (הממוצע 1.4 באמצע).

1.5 הוא $\bar{x}+0.5S$ (חצי סטיית תקן מעל הממוצע). נחבר את כל האחוזים שמימין ל־1.5:

תשובה: 31%

62 משתתפים הם 31% מכל המשתתפים (סעיף ב). נסמן ב־$N$ את מספר המשתתפים:

תשובה: 200 משתתפים.

נמצא מאיזו תוצאה מתחילים 2% העליונים. מימין ל־$\bar{x}+2S$ השטח הוא:

רק מי שקפץ יותר מ־1.8 מטר קיבל מדליה. $1.73<1.8$, ולכן דני לא קיבל מדליה.

תשובה: לא. כדי לקבל מדליה צריך תוצאה גבוהה מ־1.8 מטר, ודני קפץ 1.73 מטר.

ציון תקן 2.4 פירושו שהתוצאה של אריאל נמצאת 2.4 סטיות תקן מעל הממוצע:

$1.88>1.73$, ולכן אריאל השיג תוצאה גבוהה יותר מדני.

דרך נוספת: נחשב את ציון התקן של דני ונשווה ל־2.4:

תשובה: אריאל (1.88 מטר, יותר מ־1.73 מטר של דני).

לפי עקומת ההתפלגות הנורמלית, השטח משמאל ל־$\bar{x}+1.5S$ הוא:

נתון ש־93% מהציונים נמוכים מ־84, ולכן 84 נמצא 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע:

תשובה: הממוצע הוא 72.

על הציר מסמנים את הממוצע ובכל צעד מוסיפים או מורידים חצי סטיית תקן: $\frac{1}{2}\cdot 8=4$.

תשובה: מ־52 עד 92 בקפיצות של 4 (הממוצע 72 באמצע).

80 הוא $\bar{x}+S$ (סטיית תקן אחת מעל הממוצע). נחבר את כל האחוזים שמימין ל־80:

תשובה: 16%

32 תלמידים הם 16% מכל הנבחנים (סעיף ב). נסמן ב־$N$ את מספר הנבחנים:

תשובה: 200 תלמידים.

ציון תקן 1.75 פירושו שהציון של עמית נמצא 1.75 סטיות תקן מעל הממוצע:

תשובה: הציון של עמית הוא 86.

לפי עקומת ההתפלגות הנורמלית, השטח משמאל ל־$\bar{x}-S$ הוא:

נתון ש־16% מהמשפחות צורכות פחות מ־7 מ״ק, ולכן 7 נמצא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע:

תשובה: הממוצע הוא 9.4 מ״ק בחודש.

במלבן האמצעי כותבים את הממוצע, ובכל צעד מוסיפים או מורידים חצי סטיית תקן: $\frac{1}{2}\cdot 2.4=1.2$.

תשובה: משמאל לימין: 3.4, 4.6, 5.8, 7, 8.2, 9.4, 10.6, 11.8, 13, 14.2, 15.4 (מ״ק).

נבדוק כמה סטיות תקן 13 רחוק מהממוצע:

נחבר את האחוזים מימין ל־13:

תשובה: 7% מהמשפחות צורכות יותר מ־13 מ״ק.

560 משפחות הן 7% מכל המשפחות בעיר (סעיף ב). נסמן ב־$N$ את מספר המשפחות:

תשובה: 8000 משפחות.

שעון המים נבדק למשפחות שציון התקן שלהן גדול מ־1.5 או קטן מ־(2.5−).

ציון תקן גדול מ־1.5 – זה השטח שמימין לערך $\bar{x}+1.5S$:

ציון תקן קטן מ־(2.5−) – זה השטח שמשמאל לערך $\bar{x}-2.5S$:

סך הכול:

תשובה: ל־7.5% מהמשפחות נבדק שעון המים.

נחשב את ציון התקן של צריכת המים של משפחת כהן:

ציון התקן אינו גדול מ־1.5 ואינו קטן מ־(2.5−), ולכן שעון המים של משפחת כהן לא נבדק.

דרך נוספת: לפי הציר מסעיף א, 12 נמצא בין 11.8 ל־13, כלומר בין $\bar{x}+S$ ל־$\bar{x}+1.5S$ – לא בתחום שבו נבדקים השעונים.

תשובה: לא. ציון התקן של משפחת כהן הוא בערך 1.08 – לא גדול מ־1.5 ולא קטן מ־(2.5−).

לפי עקומת ההתפלגות הנורמלית, השטח מימין ל־$\bar{x}+1.5S$ הוא:

נתון ש־7% מהספרים בעלי יותר מ־108 עמודים, ולכן 108 נמצא 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע:

תשובה: סטיית התקן היא 12 עמודים.

31% מהספרים, בעלי מספר העמודים הקטן ביותר, נמצאים בצד שמאל של העקומה. נחבר אחוזים משמאל:

כלומר, הגבול הוא חצי סטיית תקן מתחת לממוצע:

ספר שמושאל לשבוע אחד בלבד יש בו לכל היותר 84 עמודים.

תשובה: 84 עמודים.

נבדוק כמה סטיות תקן 66 רחוק מהממוצע:

נחבר את האחוזים משמאל ל־66:

תשובה: 2% מספרי הנוער.

2% מתוך 800 הספרים:

תשובה: 16 ספרים.

נחשב את ציון התקן של ספר בן 85 עמודים:

ציון התקן של הספר קטן מ־(0.25−), ולכן ייתכן שהספרנית הוציאה ספר בן 85 עמודים.

תשובה: כן. ציון התקן של ספר בן 85 עמודים הוא בערך 0.42−, והוא קטן מ־0.25−.

לפי עקומת ההתפלגות הנורמלית, השטח משמאל ל־$\bar{x}-0.5S$ הוא:

נתון ש־31% מהביצים שוקלות פחות מ־53 גרם, ולכן 53 נמצא חצי סטיית תקן מתחת לממוצע:

תשובה: סטיית התקן היא 10 גרם.

53 הוא $\bar{x}-0.5S$, ו־63 הוא $58+5=\bar{x}+0.5S$. בין שני הערכים יש שני שטחים של 19%:

תשובה: 38%

1,824 ביצים בינוניות הן 38% מכל הביצים. נסמן ב־$N$ את מספר הביצים:

תשובה: 4800 ביצים.

ביצים גדולות שוקלות יותר מ־63 גרם, כלומר מעל $\bar{x}+0.5S$:

(או: $100\%-31\%-38\%=31\%$.) מספר הביצים הגדולות:

בכל תבנית 12 ביצים:

תשובה: 124 תבניות.

ציון תקן 0.2 פירושו שמשקל הביצה גדול מהממוצע ב־0.2 סטיות תקן:

$53<60<63$, ולכן הביצה נחשבת בינונית.

תשובה: בינונית (משקלה 60 גרם).

לפי מיקום הערכים על הגרף:

• 75 נמצא בין השטח של 9% לשטח של 15% שמשמאל לממוצע, כלומר $75=\bar{x}-S$.
• 102 נמצא בין השטח של 19% לשטח של 15% שמימין לממוצע, כלומר $102=\bar{x}+0.5S$.

בין שני הערכים יש $1.5$ סטיות תקן:

תשובה: $S=18$ מ״ר, $\bar{x}=93$ מ״ר.

נבדוק כמה סטיות תקן 129 רחוק מהממוצע:

מימין ל־$\bar{x}+2S$ יש $1.5\%+0.5\%=2\%$, ולכן:

תשובה: 98%

75 הוא $\bar{x}-S$ ו־129 הוא $\bar{x}+2S$. נחבר את האחוזים שביניהם:

תשובה: 21,320 דירות.

ציון תקן 2.4 פירושו שהשטח גדול מהממוצע ב־2.4 סטיות תקן:

$136.2>129$, ולכן הדירה אינה בין הדירות שיש להן מקום חניה אחד (אלה הדירות שבין 75 ל־129 מ״ר).

תשובה: לא — השטח 136.2 מ״ר, גדול מ־129 מ״ר.

לפי עקומת ההתפלגות הנורמלית, מהממוצע ימינה עד $\bar{x}+1.5S$ יש:

נתון ש־43% מהפרחים גבוהים מהממוצע ונמוכים מ־102 ס״מ, ולכן 102 נמצא 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע:

תשובה: סטיית התקן היא 8 ס״מ.

נבדוק את מיקום הערכים (בכל צעד מוסיפים או מורידים חצי סטיית תקן, $4$ ס״מ):

נחבר את האחוזים שבין שני הערכים:

תשובה: 62%

לפי סעיף ב, 62% מהפרחים הם באורך שבין 78 ל־94 ס״מ. 62% מתוך 800:

תשובה: 496 פרחים.

מכל 496 הפרחים שבין 78 ל־94 ס״מ הכין רועי זרים של 16 פרחים בדיוק:

תשובה: 31 זרים.

ציון תקן $-1$ פירושו סטיית תקן אחת מתחת לממוצע:

$78<82<94$, ולכן פרחים בגובה 82 ס״מ נמצאים בטווח שממנו הכין רועי זרים — כן, הוא הכין מהם זרים.

תשובה: כן — גובהם 82 ס״מ, בין 78 ל־94 ס״מ.

לפי הגרף, 16% מהסוללות קצרות מ־206 שעות ו־16% ארוכות מ־230 שעות. ההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב הממוצע, ולכן הממוצע נמצא בדיוק באמצע:

תשובה: 218 שעות.

השטח משמאל ל־$\bar{x}-S$ הוא $0.5\%+1.5\%+5\%+9\%=16\%$, ולכן 206 הוא $\bar{x}-S$:

תשובה: 12 שעות.

נבדוק כמה סטיות תקן 236 רחוק מהממוצע:

האחוז מימין ל־$\bar{x}+1.5S$:

תשובה: 7%

7% מתוך 2,400 הסוללות:

תשובה: 168 סוללות.

ה־2% הקצרות ביותר הם שני השטחים הקיצוניים משמאל: $0.5\%+1.5\%=2\%$. הם נמצאים משמאל ל־$\bar{x}-2S$:

תשובה: 194 שעות.

ציון תקן $-2.5$ פירושו 2.5 סטיות תקן מתחת לממוצע:

$188<194$, ולכן הסוללה נמצאת בין ה־2% הקצרות ביותר — היא נחשבת פגומה.

תשובה: כן, אורך החיים שלה 188 שעות, פחות מ־194.

אם 84% קיבלו יותר מ־410, אז $100\%-84\%=16\%$ קיבלו פחות מ־410.

לפי עקומת ההתפלגות הנורמלית, השטח משמאל ל־$\bar{x}-S$ הוא:

לכן 410 נמצא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע:

תשובה: ממוצע הציונים הוא 490 נקודות.

נבדוק כמה סטיות תקן 450 רחוק מהממוצע:

כלומר $450=\bar{x}-0.5S$. אחוז הנבחנים שקיבלו יותר מ־450 הוא השטח מימין ל־$\bar{x}-0.5S$:

תשובה: 69% מהנבחנים.

69% מ־40,000 הנבחנים יכולים להתקבל:

תשובה: 27,600 נבחנים.

ציון תקן 0 פירושו שהציון שווה לממוצע:

$490>450$, ולכן יורם יכול להתקבל לאוניברסיטה.

תשובה: כן, הציון שלו הוא 490, יותר מ־450.

לפי העקומה, השטח מימין ל־$\bar{x}+2.5S$ הוא $0.5\%$ (הקצה הימני של הגרף). לכן הציון הנמוך ביותר שמאפשר קבלה לרפואה הוא:

תשובה: 690 נקודות.

ציון תקן הוא מספר סטיות התקן מעל הממוצע:

תשובה: ציון התקן הוא 2.5

נבדוק כמה סטיות תקן 92 רחוק מהממוצע:

כלומר $92=\bar{x}+S$. לפי עקומת ההתפלגות הנורמלית, השטח מימין ל־$\bar{x}+S$ הוא:

תשובה: 16% מהעצים.

48 העצים שמניבים יותר מ־92 ק״ג הם 16% מכל העצים. נסמן ב־$N$ את מספר העצים במטע:

תשובה: 300 עצים.

ציון תקן הוא מספר סטיות התקן שבהן הערך רחוק מהממוצע:

תשובה: ציון התקן הוא 1.25

ציון תקן 2 פירושו 2 סטיות תקן מעל הממוצע:

תשובה: 104 ק״ג תפוחים.

לפי עקומת ההתפלגות הנורמלית, השטח מימין ל־$\bar{x}+S$ הוא:

נתון ש־16% מהעצים מניבים יותר מ־125 ק״ג, ולכן 125 נמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע:

תשובה: 111 ק״ג.

נבדוק כמה סטיות תקן כל ערך רחוק מהממוצע 111:

נחבר את האחוזים שבין $\bar{x}-S$ ל־$\bar{x}+1.5S$:

תשובה: 77% מהעצים.

נבדוק כמה סטיות תקן 90 רחוק מהממוצע:

אחוז העצים שמניבים פחות מ־90 ק״ג הוא השטח משמאל ל־$\bar{x}-1.5S$:

ביישוב יש 50,000 עצים:

תשובה: ל־3,500 עצים.

לפי עקומת ההתפלגות, השטח הקיצוני משמאל הוא 0.5% — זה השטח משמאל ל־$\bar{x}-2.5S$. לכן:

תשובה: סטיית התקן היא 600 גרם.

נבטא את המשקלים בעזרת $\bar{x}$ ו־$S$:

האחוז שבין $\bar{x}-1.5S$ ל־$\bar{x}+S$:

77% מתוך 400 התינוקות:

תשובה: 308 תינוקות.

ה־2% הכבדים ביותר הם שני השטחים הקיצוניים מימין:

השטחים האלה נמצאים מימין ל־$\bar{x}+2S$:

תשובה: החל ממשקל של 4700 גרם.

השטח משמאל ל־$\bar{x}-S$ הוא $0.5\%+1.5\%+5\%+9\%=16\%$. לכן 28 דקות הן סטיית תקן אחת מתחת לממוצע:

תשובה: סטיית התקן היא 12 דקות.

נבדוק את מיקום הערכים ביחס לממוצע (סעיף א: $S=12$):

האחוז שבין $\bar{x}-S$ ל־$\bar{x}+0.5S$:

תשובה: 53%

מחפשים ערך שמימינו 7% מהנבדקים. מימין לממוצע, מהקצה:

השטחים האלה נמצאים מימין ל־$\bar{x}+1.5S$:

תשובה: 58 דקות.

לפי סעיף ב, 53% מהנבדקים המתינו בין 28 ל־46 דקות:

תשובה: 636 נבדקים.

ציון תקן 1.25 פירושו 1.25 סטיות תקן מעל הממוצע:

תשובה: 55 דקות.

לפי עקומת ההתפלגות הנורמלית, השטח משמאל ל־$\bar{x}-S$ הוא:

16% מהתלמידים נמוכים מ־162 ס״מ, ולכן 162 נמצא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע:

תשובה: ממוצע הגבהים הוא 168 ס״מ.

נבטא את הגבהים בעזרת הממוצע וסטיית התקן:

נחבר את האחוזים שבין $\bar{x}-S$ ל־$\bar{x}+2S$ (בצעדים של חצי סטיית תקן):

תשובה: 82%

נבדוק כמה סטיות תקן 177 רחוק מהממוצע:

האחוז של התלמידים שגובהם מעל $\bar{x}+1.5S$:

7% מתוך 1,200 התלמידים:

תשובה: 84 תלמידים.

ציון תקן: $z=\frac{x-\bar{x}}{S}$ — בכמה סטיות תקן הערך רחוק מהממוצע.

(גובה השווה לממוצע — ציון התקן שלו 0.)

תשובה: $z=0$

ציון תקן שלילי מתקבל לכל גובה שקטן מהממוצע (168 ס״מ). למשל, עבור 165 ס״מ:

תשובה: כל גובה קטן מ־168 ס״מ, למשל 165 ס״מ.