ראייה מרחבית

בתרשים מספרים כותבים בכל משבצת של המבט מלמעלה כמה קוביות עומדות בה זו על זו. השורה התחתונה בתרשים היא השורה הקדמית (הקרובה לחץ), והעמודה השמאלית היא השמאלית כפי שרואים מלפנים.

נעבור על המבנה שורה אחר שורה, מהשורה האחורית לקדמית:

• השורה האחורית: ארבע ערימות של 3 קוביות.
• השורה השנייה (משמאל לימין): $2,3,2,1$.
• השורה השלישית: ערימה של 2 משמאל, משבצת ריקה, קובייה אחת, משבצת ריקה.
• השורה הקדמית: קובייה אחת משמאל, ריק, קובייה אחת, ריק.

בדיקה: $12+8+3+2=25$ קוביות.

תשובה: תרשים המספרים שבפתרון (25 קוביות).

עומדים מימין למבנה. בצד שמאל של המבט נמצאת השורה הקדמית ובצד ימין השורה האחורית. בכל שורה של תרשים המספרים לוקחים את המספר הגדול ביותר:

• שורה קדמית: $\max (1,0,1,0)=1$
• שורה שלישית: $\max (2,0,1,0)=2$
• שורה שנייה: $\max (2,3,2,1)=3$
• שורה אחורית: $\max (3,3,3,3)=3$

תשובה: מבט מימין – גבהי העמודות $1,2,3,3$ (משמאל לימין במבט).

נכתוב תרשים מספרים לכל אחד מהמבנים II ו־III לפי הסרטוטים:

מבנה II:

מבנה III:

במבנה I יש 25 קוביות (סעיף א). לכן מספר הקוביות הקטן ביותר הוא במבנה II.

תשובה: במבנה II (21 קוביות; במבנה I יש 25 ובמבנה III יש 24).

במבט מלמעלה רואים אילו משבצות תפוסות (לא משנה כמה קוביות יש בכל ערימה). משבצת תפוסה מסומנת בצבע:

במבנים I ו־III התפוסות אותן משבצות בדיוק. במבנה II המשבצת השלישית בשורה הקדמית ריקה (במבנים I ו־III יש בה קובייה), ולכן המבט שלו שונה.

תשובה: במבנים I ו־III.

במבט מימין לוקחים בכל שורה את הגובה המקסימלי (מהשורה הקדמית לאחורית):

• מבנה I: $1,2,3,3$
• מבנה II: $1,2,3,3$
• מבנה III: $2,2,3,3$

המבט מימין זהה במבנים I ו־II.

תשובה: במבנים I ו־II.

במבט מלפנים לוקחים בכל עמודה את הגובה המקסימלי:

• מבנה I: $3,3,3,3$
• מבנה III: $3,3,3,3$
• מבנה II: $3,3,2,2$

כדי שגם במבנה II המבט מלפנים יהיה $3,3,3,3$, צריך להגביה את העמודה השלישית ואת העמודה הרביעית ב־1 כל אחת. מספיקה קובייה אחת בכל אחת מהן, ולכן מוסיפים 2 קוביות.

תשובה: 2 קוביות.

אפשרות אחת: מוסיפים קובייה על הערימה השלישית ועל הערימה הרביעית בשורה האחורית (בכל אחת מ־2 ל־3). המשבצות שהשתנו מודגשות:

עכשיו הגובה המקסימלי בכל עמודה הוא 3, והמבט מלפנים הוא $3,3,3,3$ – כמו במבנים I ו־III. ($21+2=23$ קוביות.)

יש עוד אפשרויות: בכל עמודה (השלישית והרביעית) אפשר להוסיף את הקובייה על ערימה שגובהה כבר 2, כך שתגיע ל־3.

תשובה: לדוגמה: מוסיפים קובייה על כל אחת משתי הערימות הימניות בשורה האחורית (2 הופך ל־3) – ראו תרשים.

נסתכל על המבנה מכל כיוון ונרשום בכל עמודה את הגובה המקסימלי שרואים בה (את תרשים המספרים המלא נמצא בסעיף ב).

מבט מלפנים (משמאל לימין): בכל עמודה רואים את הערימה הגבוהה ביותר באותה עמודה, לאורך כל השורות:

מבט מימין: עומדים מימין למבנה. בצד שמאל של המבט נמצאת השורה הקדמית ובצד ימין השורה האחורית:

את הגבהים בכל מבט מחשבים מתרשים המספרים: בכל עמודה (למבט מלפנים) או בכל שורה (למבט מימין) לוקחים את המספר הגדול ביותר.

תשובה: מבט מלפנים – גבהים 2, 3, 3, 3 (משמאל לימין); מבט מימין – גבהים 1, 2, 2, 3 (מהשורה הקדמית לאחורית).

בתרשים מספרים כותבים בכל משבצת של המבט מלמעלה כמה קוביות עומדות בה זו על זו. השורה התחתונה בתרשים היא השורה הקדמית (הקרובה לחץ).

בדיקה: סך הכול $11+7+4+2=24$ קוביות.

תשובה: תרשים המספרים בסרטוט (שורה אחורית: 2, 3, 3, 3; שורה קדמית: 1, 0, 0, 1).

המבט מאחור הוא תמונת ראי של המבט מלפנים. המבט מלפנים הוא $2,3,3,3$, ולכן מאחור רואים $3,3,3,2$. כדי שהשניים יהיו זהים, העמודה השמאלית צריכה להגיע לגובה 3.

נוסיף קובייה אחת על הערימה שבפינה האחורית־שמאלית (מ־2 ל־3). עכשיו המבט מלפנים הוא $3,3,3,3$ וגם המבט מאחור.

תשובה: מוסיפים קובייה בפינה האחורית־שמאלית (2 הופך ל־3).

אחרי הורדת הקובייה שהוספנו חוזרים למבנה המקורי עם 24 קוביות. בתרשים החדש:

הורידו:

תשובה: הורידו עוד 3 קוביות.

נשווה את הגבהים לפני ואחרי:

• מבט מלפנים (המקסימום בכל עמודה): לפני $2,3,3,3$; אחרי $2,3,3,2$ — השתנה (העמודה הימנית ירדה מ־3 ל־2).
• מבט מימין (המקסימום בכל שורה): לפני ואחרי $1,2,2,3$ — לא השתנה. לכן גם המבט משמאל (תמונת הראי שלו) לא השתנה.
• מבט מלמעלה: אף משבצת לא התרוקנה (האפסים נשארו באותם מקומות) — לא השתנה.

תשובה: המבט מלפנים.

בתרשים מספרים כותבים בכל משבצת של המבט מלמעלה כמה קוביות עומדות בה זו על זו. השורה התחתונה בתרשים היא השורה הקדמית (הקרובה לחץ), והעמודה השמאלית היא השמאלית כפי שרואים מלפנים.

• השורה האחורית (משמאל לימין): $2,2,4,3$ – בה המגדל הגבוה (4 קוביות).
• השורה השנייה: $2,0,1,2$.
• השורה השלישית: $1,0,0,1$.
• השורה הקדמית: $2,0,0,1$.

בדיקה: $11+5+2+3=21$ קוביות.

תשובה: תרשים המספרים שבפתרון (21 קוביות).

נחשב כל מבט מתרשים המספרים:

• מבט מלפנים – בכל עמודה המספר הגדול ביותר (משמאל לימין): $2,2,4,3$. כך בדיוק נראה תרשים I.
• מבט מימין – בכל שורה המספר הגדול ביותר. במבט מימין, בצד שמאל נמצאת השורה הקדמית: $2,1,2,4$. כך נראה תרשים IV.
• מבט מלמעלה – אילו משבצות תפוסות. התפוסות הן כל השורה האחורית, וכל המשבצות שאינן 0 בשאר השורות. כך נראה תרשים II (בו המשבצות הריקות הן בדיוק האפסים שבתרשים המספרים).

תרשים III מראה עמודות בגבהים $3,4,1,2$ – הוא אינו מתאים לאף אחד מהמבטים, ולכן תרשים III אינו מתאר שום מבט.

תשובה: תרשים I – מבט מלפנים; תרשים II – מבט מלמעלה; תרשים IV – מבט מימין; תרשים III – אינו מתאר שום מבט.

עומדים משמאל למבנה. בצד שמאל של המבט נמצאת השורה האחורית ובצד ימין השורה הקדמית. בכל שורה לוקחים את המספר הגדול ביותר:

• שורה אחורית: $\max (2,2,4,3)=4$
• שורה שנייה: $\max (2,0,1,2)=2$
• שורה שלישית: $\max (1,0,0,1)=1$
• שורה קדמית: $\max (2,0,0,1)=2$

המבט משמאל הוא תמונת ראי של המבט מימין ($2,1,2,4$).

תשובה: המבט משמאל – גבהי העמודות $4,2,1,2$ (משמאל לימין במבט).

מה משתנה במבט מלמעלה? נשווה את המבט החדש לתרשים II (המבט מלמעלה המקורי): ההבדל היחיד הוא המשבצת השלישית בשורה הקדמית – עכשיו היא תפוסה. לכן חייבים לשים בה לפחות קובייה אחת.

המבט מלפנים לא משתנה ($2,2,4,3$): בכל עמודה אסור לעבור את הגובה המקסימלי שלה. בעמודה השלישית המקסימום הוא 4, ולכן במשבצת החדשה אפשר לשים עד 4 קוביות.

אפשרות אחת: 4 קוביות במשבצת החדשה, ועוד קובייה אחת על הערימה הימנית בשורה הקדמית (מ־1 ל־2; בעמודה הרביעית המקסימום 3, ולכן זה מותר). סך הכול $4+1=5$ קוביות. המשבצות שהשתנו מודגשות:

בדיקה: מבט מלפנים – $2,2,4,3$ (לא השתנה); המשבצות התפוסות – בדיוק כמו בתרשים הנתון; $21+5=26$ קוביות.

יש עוד תשובות נכונות: כל חלוקה של 5 קוביות שבה המשבצת החדשה מקבלת 1 עד 4 קוביות, ואף ערימה לא עוברת את הגובה המקסימלי של העמודה שלה (עמודה ראשונה – 2, שנייה – 2, שלישית – 4, רביעית – 3).

תשובה: לדוגמה: 4 קוביות במשבצת השלישית בשורה הקדמית, וקובייה אחת על הערימה הימנית בשורה הקדמית (ראו תרשים).

קודם נבנה תרשים מספרים של המבנה: בכל משבצת של הבסיס כותבים כמה קוביות עומדות בה זו על זו. החץ מסמן את המבט מלפנים, ולכן הצלע הקדמית היא הצלע השמאלית־התחתונה בסרטוט (4 עמודות), והעומק הוא 3 שורות. השורה התחתונה בתרשים היא השורה הקדמית (הקרובה לחץ).

שימו לב: המשבצת בשורה האמצעית ובעמודה השלישית מוסתרת בסרטוט מאחורי המגדל הקדמי־ימני (2 קוביות). לפי התשובה הרשמית יש בה קובייה אחת (סך הכול 18 קוביות). זה לא משפיע על סעיפים א ו־ב.

מבט מלפנים (משמאל לימין): בכל עמודה רואים את הערימה הגבוהה ביותר באותה עמודה, לאורך כל השורות:

• עמודה 1: $\max (2,1,2)=2$
• עמודה 2: $\max (1,1,1)=1$
• עמודה 3: $\max (3,1,1)=3$
• עמודה 4: $\max (2,1,2)=2$

תשובה: מבט מלפנים – גבהים 2, 1, 3, 2 (משמאל לימין).

מבט מימין: עומדים מימין למבנה. בצד שמאל של המבט נמצאת השורה הקדמית ובצד ימין השורה האחורית. בכל שורה רואים את הערימה הגבוהה ביותר:

• שורה קדמית: $\max (2,1,1,2)=2$
• שורה אמצעית: $\max (1,1,1,1)=1$
• שורה אחורית: $\max (2,1,3,2)=3$

תשובה: מבט מימין – גבהים 2, 1, 3 (משמאל לימין: מהשורה הקדמית לאחורית).

המבט מימין לא משתנה כל עוד הגובה המקסימלי בכל שורה נשאר אותו דבר. לכן אפשר להגביה כל משבצת בשורה עד הגובה המקסימלי של אותה שורה (אחורית – 3, אמצעית – 1, קדמית – 2), ולא יותר:

בשורה האחורית: $1+2+0+1=4$. בשורה הקדמית: $0+1+1+0=2$. סך הכול:

בדיקה: אחרי ההוספה יש $12+4+8=24$ קוביות, ו־$24-18=6$.

תשובה: הוסיפו 6 קוביות.

המשבצות שהוגבהו מודגשות:

תשובה: משמאל לימין: שורה אחורית 3, 3, 3, 3; אמצעית 1, 1, 1, 1; קדמית 2, 2, 2, 2.

• מבט משמאל: הוא תמונת הראי של המבט מימין. המבט מימין לא השתנה (2, 1, 3), ולכן גם המבט משמאל לא השתנה.
• מבט מלפנים: לפני 2, 1, 3, 2; אחרי 3, 3, 3, 3 — השתנה.
• מבט מאחור: תמונת הראי של המבט מלפנים, ולכן גם הוא השתנה.

תשובה: המבט משמאל.

בתרשים מספרים כותבים בכל משבצת של המבט מלמעלה כמה קוביות עומדות בה זו על זו. החץ מסמן את המבט מלפנים: המבנה רחב 3 עמודות (משמאל לימין) ועמוק 4 שורות. השורה התחתונה בתרשים היא השורה הקדמית (הקרובה לחץ).

• שורה קדמית: קובייה אחת בפינה השמאלית; שתי המשבצות האחרות ריקות (רואים בהן את המשטח).
• שורה שנייה: קובייה אחת בכל משבצת.
• שורה שלישית: באמצע מגדל של 3 קוביות, ובצדדים קובייה אחת.
• שורה אחורית: משמאל לימין 3, 2, 1 — המגדל השמאלי־האחורי הוא הגבוה ביותר במבנה.

בדיקה: סך הכול $6+5+3+1=15$ קוביות.

תשובה: תרשים המספרים שבפתרון. משמאל לימין: שורה אחורית 3, 2, 1; שורה שלישית 1, 3, 1; שורה שנייה 1, 1, 1; שורה קדמית 1, 0, 0.

במבט מהצד רואים בכל שורה את הערימה הגבוהה ביותר באותה שורה:

• שורה קדמית: $\max (1,0,0)=1$
• שורה שנייה: $\max (1,1,1)=1$
• שורה שלישית: $\max (1,3,1)=3$
• שורה אחורית: $\max (3,2,1)=3$

מבט מימין: עומדים מימין למבנה. בצד שמאל של המבט נמצאת השורה הקדמית ובצד ימין השורה האחורית:

מבט משמאל: עומדים משמאל למבנה, ועכשיו השורה הקדמית בצד ימין של המבט. זו תמונת הראי של המבט מימין:

תשובה: מבט מימין – גבהים 1, 1, 3, 3; מבט משמאל – גבהים 3, 3, 1, 1 (משמאל לימין, כפי שהצופה רואה).

המבט מלמעלה מראה רק אילו משבצות תפוסות, לא את הגובה. כדי שהמבט מלמעלה לא ישתנה, בכל משבצת תפוסה צריכה להישאר לפחות קובייה אחת, ומשבצת ריקה נשארת ריקה. לכן אפשר להוריד מכל ערימה את כל הקוביות חוץ מאחת:

שורה אחורית (ערימות $3,2,1$):

שורה שלישית (ערימות $1,3,1$):

שתי השורות הקדמיות: בכל משבצת יש קובייה אחת לכל היותר, ולכן לא מורידים מהן.

סך הכול:

תשובה: הורידו 5 קוביות.

בכל משבצת תפוסה נשארה קובייה אחת:

יש 10 משבצות תפוסות. בדיקה:

תשובה: נשארו 10 קוביות.

נכתוב לכל מבנה תרשים מספרים: בכל משבצת – כמה קוביות עומדות בה זו על זו. השורה התחתונה בתרשים היא השורה הקדמית (הקרובה לחץ), והעמודות משמאל לימין כפי שרואים אותן מלפנים.

מבנה I: בשורה האחורית ערימות של 1, 3, 2 קוביות; בשורה הקדמית קובייה אחת באמצע.

מבנה II: בשורה האחורית ערימות של 2, 1, 2 קוביות; בשורה הקדמית קובייה אחת באמצע.

מבט מלמעלה: בשני המבנים כל שלוש המשבצות בשורה האחורית תפוסות ובשורה הקדמית רק האמצעית – זה בדיוק המבט מלמעלה הנתון. לכן המבט מלמעלה לא מבדיל בין המבנים.

מבט מימין: עומדים מימין למבנה. בצד שמאל של המבט רואים את השורה הקדמית ובצד ימין את השורה האחורית, ובכל אחת – את הערימה הגבוהה ביותר בה. במבט הנתון הגבהים הם 1 (השורה הקדמית) ו־3 (השורה האחורית).

במבנה II הערימה הגבוהה ביותר היא בת 2 קוביות בלבד, ולכן במבט מימין לא יכולה להופיע עמודה בגובה 3. רק מבנה I מתאים לשני המבטים.

תשובה: מבנה I מתאים לשני המבטים.

במבט מלפנים רואים בכל עמודה את הערימה הגבוהה ביותר בה (לאורך שתי השורות):

• עמודה שמאלית: $\max (1,0)=1$
• עמודה אמצעית: $\max (3,1)=3$
• עמודה ימנית: $\max (2,0)=2$

תשובה: מבט מלפנים: 1, 3, 2 (משמאל לימין).

נבדוק כל ערימה במבנה I:

• המבט מלמעלה לא ישתנה רק אם אף משבצת לא תתרוקן. לכן בערימות שיש בהן קובייה אחת בלבד (אחורית־שמאלית וקדמית־אמצעית) אי אפשר לגעת.
• המבט מימין לא ישתנה רק אם בשורה האחורית תישאר ערימה בגובה 3. הערימה בגובה 3 היא היחידה בשורה זו, ולכן אי אפשר להוריד ממנה.
• נשארה הערימה האחורית־ימנית (2 קוביות): אפשר להוריד ממנה קובייה אחת – המשבצת לא מתרוקנת, והמקסימום בשורה האחורית נשאר 3.

לכן אפשר להסיר לכל היותר קובייה אחת.

תשובה: קובייה אחת.

מורידים קובייה אחת מהערימה האחורית־ימנית (2 הופך ל־1):

בדיקה: במבט מלמעלה תפוסות אותן משבצות; במבט מימין הערימה הגבוהה בשורה הקדמית עדיין 1 ובשורה האחורית עדיין 3.

תשובה: שורה אחורית: 1, 3, 1; שורה קדמית: 0, 1, 0.

המבט מאחור הוא תמונת ראי של המבט מלפנים (מה שהיה משמאל עובר לימין). לכן שני המבטים זהים רק אם הגבהים במבט מלפנים סימטריים.

היגד 1: במבנה I המבט מלפנים הוא 1, 3, 2 (סעיף ב), ולכן מאחור רואים 2, 3, 1. המבטים שונים – ההיגד לא נכון.

היגד 2: במבנה II הערימה הגבוהה בכל עמודה היא 2, 1, 2 (משמאל לימין), ולכן המבט מלפנים הוא 2, 1, 2. מאחור רואים 2, 1, 2 – אותו מבט. ההיגד נכון.

תשובה: 1 – לא נכון; 2 – נכון.

בתרשים מספרים השורה העליונה היא השורה האחורית (הרחוקה מהחץ), והשורה התחתונה היא השורה הקדמית. בתרשים החלקי נתונה השורה האחורית: $2,2,1$ (משמאל לימין).

בשני המבנים הבסיס הוא 4 שורות ו־3 עמודות. נסתכל על השורה האחורית בכל מבנה:

• מבנה א': בשורה האחורית יש מגדל של 3 קוביות (באמצע) – לא מתאים ל־$2,2,1$.
• מבנה ב': בשורה האחורית ערימות של 2, 2, 1 קוביות – מתאים.

לכן התרשים מתאים למבנה ב'.

תשובה: התרשים מתאים למבנה ב'.

נשלים את התרשים של מבנה ב' שורה אחרי שורה, מהשורה האחורית לקדמית. בכל משבצת – כמה קוביות עומדות בה זו על זו:

בעמודה השמאלית יש „קיר” בגובה 2 ובפינה הקדמית־שמאלית מגדל של 3 קוביות. בשורה הקדמית רק המגדל, ושתי המשבצות האחרות ריקות.

סך הכול: $5+4+3+3=15$ קוביות.

תשובה: שורה אחורית: 2, 2, 1; שורה שנייה: 2, 1, 1; שורה שלישית: 2, 1, 0; שורה קדמית: 3, 0, 0.

במבט מלמעלה מסמנים כל משבצת שעומדת בה לפחות קובייה אחת (בלי קשר לגובה). תרשים המספרים של מבנה א':

כל המשבצות בשלוש השורות האחוריות תפוסות, ובשורה הקדמית רק המשבצת השמאלית (הערימה בגובה 2). לכן המבט מלמעלה:

תשובה: מבט מלמעלה: שלוש השורות האחוריות מלאות (3 משבצות בכל אחת), ובשורה הקדמית רק המשבצת השמאלית.

נספור את הקוביות בכל מבנה לפי תרשים המספרים (שורה אחרי שורה, מאחור לפנים):

מבנה א':

מבנה ב':

במבנה א' יש קובייה אחת יותר מאשר במבנה ב'.

תשובה: בקובייה אחת (16 לעומת 15).

היגד 1: במבט מלמעלה של מבנה א' תפוסות 10 משבצות (סעיף ב). במבנה ב' השורה השלישית היא $2,1,0$ – המשבצת הימנית ריקה – ולכן תפוסות רק 9 משבצות:

המבטים שונים, ולכן ההיגד לא נכון.

היגד 2: במבט מימין או משמאל רואים בכל שורה את הערימה הגבוהה ביותר בה.

• מבנה א', מבט מימין: בצד שמאל של המבט השורה הקדמית ובצד ימין השורה האחורית. הגבהים: 2, 2, 2, 3.
• מבנה ב', מבט משמאל: בצד שמאל של המבט השורה האחורית ובצד ימין השורה הקדמית. הגבהים: 2, 2, 2, 3.

שני המבטים זהים, ולכן ההיגד „המבטים שונים” לא נכון.

תשובה: 1 – לא נכון; 2 – לא נכון.

נשתמש בתרשים המספרים (סעיף ג). בכל מבט רואים בכל עמודה את הגובה המקסימלי:

• מבט מלפנים (המקסימום בכל עמודה, משמאל לימין): $3,3,3$, כלומר ריבוע מלא $3\times 3$.
• מבט מימין (המקסימום בכל שורה; בצד שמאל של המבט השורה הקדמית): $2,3,3$.
• מבט משמאל (תמונת הראי של המבט מימין): $3,3,2$.

בתרשים הנתון חסרה המשבצת העליונה השמאלית, כלומר הגבהים הם $2,3,3$ — זה המבט מימין.

תשובה: המבט מימין.

עומדים משמאל למבנה. בצד שמאל של המבט נמצאת השורה האחורית ובצד ימין השורה הקדמית. בכל שורה רואים את הערימה הגבוהה ביותר:

• שורה אחורית: $\max (3,3,3)=3$
• שורה אמצעית: $\max (2,3,2)=3$
• שורה קדמית: $\max (1,2,1)=2$

תשובה: גבהים $3,3,2$ (משמאל לימין): חסרה המשבצת העליונה הימנית.

בתרשים מספרים כותבים בכל משבצת של המבט מלמעלה כמה קוביות עומדות בה זו על זו. השורה התחתונה בתרשים היא השורה הקדמית (הקרובה לחץ).

בסרטוט: בשורה הקדמית רואים שלוש ערימות – 1, 2, 1. בשורה האמצעית הערימה האמצעית מגיעה לגובה 3 והצדדיות לגובה 2. בשורה האחורית כל הערימות בגובה 3.

בדיקה: המבט מימין לפי התרשים הוא $2,3,3$ — בדיוק התרשים הנתון בשאלה. סך הכול $9+7+4=20$ קוביות.

תשובה: שורה אחורית: $3,3,3$; אמצעית: $2,3,2$; קדמית: $1,2,1$.

הבסיס הוא $3\times 3$ והגובה המקסימלי הוא 3, ולכן הקובייה הקטנה ביותר שאפשר לבנות היא $3\times 3\times 3$:

מספר הקוביות במבנה (לפי השורות בתרשים המספרים):

תשובה: הוסיפו 7 קוביות.

מבט מלמעלה מראה אילו משבצות של המשטח תפוסות (לא משנה הגובה). בשני התרשימים השורה העליונה היא השורה האחורית והתחתונה היא הקדמית (הקרובה לחץ). ההבדל ביניהם הוא רק בשורה השנייה מלפנים:

• תרשים I: בשורה השנייה מלפנים תפוסות המשבצת השמאלית והאמצעית.
• תרשים II: בשורה השנייה מלפנים תפוסה רק המשבצת השמאלית.

בכל שלושת המבנים בשורה הקדמית יש קובייה אחת באמצע, ובשורה האחורית יש ערימה בגובה 2 באמצע. נסתכל על השורה השנייה מלפנים:

• מבנה 1: רואים את הפאה הימנית (הכהה) של הקובייה השמאלית בשורה השנייה, כלומר המשבצת האמצעית בשורה זו ריקה ← תרשים II.
• מבנה 2 ומבנה 3: מאחורי הקובייה הקדמית יש קובייה גם במשבצת האמצעית של השורה השנייה (רואים את הפאה הימנית שלה), והמשבצת הימנית ריקה ← תרשים I.

תשובה: מבנה 1 – תרשים II; מבנה 2 – תרשים I; מבנה 3 – תרשים I.

המבט מלמעלה של מבנה 3 הוא תרשים I, ולכן המשבצות התפוסות ידועות. נשאר לקבוע את הגובה בכל משבצת: כל הערימות בגובה קובייה אחת, חוץ מהערימה האמצעית בשורה האחורית שבה שתי קוביות זו על זו.

בסך הכול $3+3+2+1=9$ קוביות.

תשובה: מהשורה האחורית לקדמית: $(1,2,0),(1,1,1),(1,1,0),(0,1,0)$

במבט מלפנים רואים בכל עמודה את הערימה הגבוהה ביותר באותה עמודה (לאורך כל השורות):

• עמודה שמאלית: $\max (1,1,1,0)=1$
• עמודה אמצעית: $\max (2,1,1,1)=2$
• עמודה ימנית: $\max (0,1,0,0)=1$

תשובה: גבהים $1,2,1$ (משמאל לימין).

כדי שהמבט מלמעלה לא ישתנה, אסור להוסיף קוביות במשבצות ריקות — רק להגביה ערימות קיימות. כדי שהמבט מלפנים לא ישתנה, אסור שערימה תהיה גבוהה מהגובה של העמודה שלה במבט מלפנים ($1,2,1$).

• עמודה שמאלית וימנית: הגובה המקסימלי 1 — כל הערימות כבר בגובה 1, אי אפשר להוסיף.
• עמודה אמצעית: הגובה המקסימלי 2 — בשלוש ערימות בגובה 1 אפשר להוסיף קובייה אחת בכל אחת.

תשובה: 3 קוביות.

כל המשבצות בעמודה האמצעית מגיעות לגובה 2 (המשבצות שהשתנו מודגשות):

בדיקה: $12-9=3$ קוביות נוספו.

תשובה: מהשורה האחורית לקדמית: $(1,2,0),(1,2,1),(1,2,0),(0,2,0)$

המבט מלפנים הוא מכיוון דרום (החץ). המבנה עומד על משטח של $2\times 4$ משבצות: שתי שורות (קדמית ואחורית) וארבע עמודות.

• שורה קדמית: יש קובייה בודדת בפינה השמאלית ובפינה הימנית; שתי המשבצות האמצעיות ריקות (רואים בהן את המשטח).
• שורה אחורית (משמאל לימין): ערימה של 3 קוביות, ערימה של 4 קוביות (הגבוהה ביותר), ערימה של 2 וערימה של קובייה אחת.

בתרשים המספרים השורה התחתונה היא השורה הקדמית:

תשובה: שורה אחורית (צפון): $3,4,2,1$; שורה קדמית (דרום): $1,0,0,1$.

מחברים את כל המספרים בתרשים המספרים (כל מספר הוא גובה ערימה):

תשובה: 12 קוביות.

במבט מלפנים רואים בכל עמודה את הערימה הגבוהה ביותר בה:

אלה הגבהים בסרטוט 3. (בסרטוט 4 העמודה השלישית בגובה 3 — לא מתאים.)

תשובה: סרטוט 3

עומדים מימין למבנה (ממזרח). בצד שמאל של המבט נמצאת השורה הקדמית ובצד ימין השורה האחורית. בכל שורה רואים את הערימה הגבוהה ביותר:

שורה קדמית:

שורה אחורית:

אלה הגבהים בסרטוט 2. (בסרטוט 1 העמודה השמאלית בגובה 2 — לא מתאים.)

תשובה: סרטוט 2

מזרח הוא הצד הימני של המבנה (כשמסתכלים מלפנים, מדרום). לדירה יש חלון למזרח אם הקיר המזרחי שלה חיצוני, כלומר אין מימינה דירה באותה קומה. נעבור על כל ערימה:

תשובה: ל־6 דירות.

במבט מלפנים רואים בכל עמודה (משמאל לימין) את הערימה הגבוהה ביותר בה (לפי תרשים המספרים בסעיף ב):

תשובה: גבהים 3, 2, 1 (משמאל לימין).

במבט משמאל עומדים משמאל למבנה: בצד שמאל של המבט נמצאת השורה האחורית ובצד ימין השורה הקדמית. בכל שורה רואים את הערימה הגבוהה ביותר:

• השורה האחורית: $3$ קוביות.
• השורה האמצעית: $2$ קוביות.
• השורה הקדמית: $2$ קוביות.

תשובה: גבהים 3, 2, 2 (מהשורה האחורית לקדמית).

(השורה התחתונה – מלפנים.)

סך הכול $3+5+3=11$ קוביות.

תשובה: שורה אחורית 3, 0, 0; אמצעית 2, 2, 1; קדמית 2, 0, 1.

כדי שהמבט מלמעלה לא ישתנה, מוסיפים קובייה רק על משבצת שכבר יש בה קוביות. כדי שהמבט מלפנים לא ישתנה, הערימה לא יכולה לעבור את הגובה המקסימלי באותה עמודה.

• עמודה ימנית: המקסימום 1 — אי אפשר להוסיף.
• עמודה אמצעית: המקסימום 2 — אי אפשר להוסיף.
• עמודה שמאלית: המקסימום 3 — אפשר להוסיף לערימה של 2 (אמצעית או קדמית).

תשובה: מוסיפים קובייה בעמודה השמאלית: לערימה האמצעית (2 → 3) או לקדמית (2 → 3).

נקרא את שני המבנים כתרשימי מספרים. בכל מבנה הבסיס הוא 3 משבצות לרוחב (משמאל לימין כפי שרואים מלפנים) ו־2 שורות לעומק (קדמית ואחורית). סופרים בכל משבצת כמה קוביות עומדות בה:

מבט מלפנים – בכל עמודה (משמאל לימין) לוקחים את המספר הגדול ביותר:

• מבנה 1: $3,3,1$ ✓
• מבנה 2: $3,3,1$ ✓

שני המבנים מתאימים למבט מלפנים.

מבט מימין – בכל שורה לוקחים את המספר הגדול ביותר. במבט מימין, השורה הקדמית נמצאת בצד שמאל של המבט והאחורית בצד ימין:

• מבנה 1: קדמית 2, אחורית 3, כלומר $2,3$ ✗
• מבנה 2: קדמית 3, אחורית 3, כלומר $3,3$ ✓

לכן רק מבנה 2 מתאים לשני המבטים.

תשובה: מבנה 2.

המבנה שאינו מתאים הוא מבנה 1. לפי תרשים המספרים שלו (סעיף א (1)):

מבט מלפנים (משמאל לימין): $3,3,1$

מבט מימין: משמאל השורה הקדמית (הגבוהה ביותר בה 2) ומימין השורה האחורית (3):

ההבדל ממבנה 2: בעמודה השמאלית־קדמית יש במבנה 1 רק 2 קוביות, ולכן מימין רואים בצד שמאל רק 2 קוביות בגובה.

תשובה: מבנה 1: מבט מלפנים – גבהים $3,3,1$; מבט מימין – גבהים $2,3$ (משמאל לימין).

בכל משבצת רושמים כמה קוביות עומדות בה. השורה התחתונה בתרשים היא השורה הקדמית:

• שורה קדמית (משמאל לימין): עמודה של 2 קוביות, קובייה אחת, משבצת ריקה (רואים בה את המשטח).
• שורה אחורית: 3, 3, ובפינה הימנית־אחורית קובייה אחת.

בדיקה – סך הכול קוביות במבנה 1:

תשובה: שורה אחורית: $3,3,1$; שורה קדמית: $2,1,0$ (משמאל לימין).

נספור את הקוביות בכל מבנה מתוך תרשימי המספרים (סעיף א (1)):

• מבנה 2: $3+3+1+3+1+0=11$ קוביות.
• מבנה 1: $3+3+1+2+1+0=10$ קוביות.

במבנה 2 יש קובייה אחת יותר. נפח קובייה שצלעה 3:

לכן הנפח של מבנה 2 גדול מהנפח של מבנה 1 ב־27 יחידות נפח.

תשובה: ב־27 יחידות נפח (קובייה אחת).

בשני המבנים הבסיס הוא $3\times 3$ משבצות. נקרא כל מבנה כתרשים מספרים (בכל משבצת – כמה קוביות עומדות בה; השורה התחתונה היא הקדמית):

במבנה 1 המשבצת האמצעית בשורה האחורית מוסתרת מאחורי העמודה בגובה 2 שלפניה. היא יכולה להכיל לכל היותר קובייה אחת, וזה לא משנה אף מבט שנבדוק כאן.

התרשים הנתון הוא $1,2,1$ (משמאל לימין).

מבנה 1:

• מבט מלפנים (המקסימום בכל עמודה): $2,1,2$ ✗
• מבט מימין (המקסימום בכל שורה; משמאל השורה הקדמית, מימין האחורית): $1,2,1$ ✓

מבנה 2:

• מבט מלפנים: $1,2,1$ ✓
• מבט מימין: $1,1,2$ ✗

לכן עבור מבנה 1 התרשים מייצג מבט מימין, ועבור מבנה 2 הוא מייצג מבט מלפנים.

תשובה: מבנה 1: התרשים יכול לייצג מבט מימין (לא מלפנים). מבנה 2: התרשים יכול לייצג מבט מלפנים (לא מימין).

נעבור על מבנה 2 שורה אחרי שורה (משמאל לימין כפי שרואים מלפנים):

• שורה קדמית: קובייה אחת, משבצת ריקה (רואים בה את המשטח), קובייה אחת.
• שורה אמצעית: קובייה אחת בכל משבצת.
• שורה אחורית: קובייה אחת, עמודה של 2 קוביות, משבצת ריקה (רואים את המשטח בפינה הימנית־אחורית).

בדיקה – מספר הקוביות במבנה 2:

תשובה: שורה אחורית: $1,2,0$; אמצעית: $1,1,1$; קדמית: $1,0,1$ (משמאל לימין).

במבט משמאל עומדים משמאל למבנה. השורה האחורית נמצאת בצד שמאל של המבט, והשורה הקדמית בצד ימין.

בכל שורה לוקחים את המספר הגדול ביותר בתרשים המספרים:

• שורה אחורית: $\max (1,2,0)=2$
• שורה אמצעית: $\max (1,1,1)=1$
• שורה קדמית: $\max (1,0,1)=1$

המבט משמאל הוא תמונת ראי של המבט מימין ($1,1,2$).

תשובה: מבט משמאל – גבהים $2,1,1$ (משמאל לימין).

במבנה 2 יש 8 קוביות זהות (סעיף ב), והנפח הכולל הוא 216 סמ״ק:

תשובה: 27 סמ״ק.

נפח קובייה הוא $a^3$, כאשר $a$ אורך המקצוע:

תשובה: 3 ס״מ.

סרטוט 2 הוא מבט מלמעלה: משבצת אפורה – יש בה לפחות קובייה אחת; משבצת לבנה – ריקה. לפי סרטוט 2 (השורה התחתונה היא הקדמית, ליד החץ):

• תרשים 1: בפינה הקדמית־ימנית רשום 1, אבל לפי המבט מלמעלה המשבצת הזו ריקה ✗
• תרשים 3: בפינה האחורית־שמאלית רשום 2, אבל לפי המבט מלמעלה היא ריקה; וגם הפינה האחורית־ימנית ריקה בתרשים 3, אבל אפורה במבט מלמעלה ✗
• תרשים 2: המשבצות המלאות בו הן בדיוק המשבצות האפורות של המבט מלמעלה ✓

בסרטוט 1 רואים גם בצד ימין של המבנה: בשורה האחורית עמודה של 2 קוביות, בשורה האמצעית קובייה אחת, ובפינה הקדמית־ימנית אין קובייה (רואים את הרצפה) – בהתאם לתרשים 2. לכן תרשים 2 מתאים לנתוני השאלה.

תשובה: תרשים 2.

במבט מלפנים רואים בכל עמודה את הערימה הגבוהה ביותר באותה עמודה (לאורך כל השורות). לפי תרשים 2:

• עמודה שמאלית: $\max (1)=1$
• עמודה אמצעית: $\max (2,3,1)=3$
• עמודה ימנית: $\max (2,1)=2$

תשובה: מבט מלפנים – גבהים $1,3,2$ (משמאל לימין).

כדי שסרטוט 2 (המבט מלמעלה) לא ישתנה, אסור להניח את הקובייה במשבצת ריקה – צריך להניח אותה על ערימה קיימת.

כדי שסרטוט 1 לא ישתנה, הקובייה החדשה צריכה להיות במקום שהכתם מסתיר. הכתם מכסה את הצד השמאלי־קדמי של המבנה, ושם נמצאת הקובייה הבודדת בפינה הקדמית־שמאלית.

לכן נוסיף קובייה על הפינה הקדמית־שמאלית (מ־1 ל־2):

המבט מלמעלה לא השתנה (אותן משבצות מלאות), והשינוי מוסתר מאחורי הכתם בסרטוט 1.

תשובה: כן. מוסיפים קובייה על הקובייה שבפינה הקדמית־שמאלית (1 הופך ל־2).

במבט מלפנים רואים בכל עמודה (משמאל לימין) את הערימה הגבוהה ביותר באותה עמודה. לפי המבנה (ראו תרשים המספרים בסעיף ב):

תשובה: גבהים 3, 2, 1 (משמאל לימין).

במבט מלמעלה מסמנים כל משבצת שיש עליה לפחות קובייה אחת. בשורה האחורית יש קוביות רק בצד שמאל, בשורה האמצעית בכל שלוש המשבצות, ובשורה הקדמית בצד שמאל ובצד ימין.

תשובה: שורה אחורית: רק שמאל; אמצעית: כל השלוש; קדמית: שמאל וימין.

בכל משבצת רושמים כמה קוביות עומדות בה זו על זו (השורה התחתונה – מלפנים):

סך הכול: $3+5+3=11$ קוביות.

תשובה: שורה אחורית 3, 0, 0; אמצעית 2, 2, 1; קדמית 2, 0, 1.

כן, אפשר. כדי שהמבט מלמעלה לא ישתנה, מוסיפים את הקובייה על משבצת שכבר יש בה קוביות. כדי שהמבט מלפנים לא ישתנה, הערימה החדשה לא יכולה להיות גבוהה מהערימה הגבוהה ביותר באותה עמודה.

בעמודה השמאלית הערימה הגבוהה היא 3, ולכן אפשר להוסיף קובייה לערימה הקדמית־שמאלית (2 הופך ל־3):

(דוגמה נוספת: להוסיף לערימה האמצעית־שמאלית, 2 הופך ל־3.)

תשובה: כן. לדוגמה: מוסיפים קובייה לערימה הקדמית־שמאלית (2 → 3).

נשתמש בתרשים המספרים (סעיף ב). בכל מבט רואים בכל טור את הערימה הגבוהה ביותר:

• מבט מלפנים (המקסימום בכל עמודה, משמאל לימין): $3,1,2$.
• מבט מימין (המקסימום בכל שורה; בצד שמאל של המבט השורה הקדמית): $1,1,3$.
• מבט מלמעלה: המשבצות שיש בהן קוביות.

תשובה: מבט מלפנים 3, 1, 2; מבט מימין 1, 1, 3; מבט מלמעלה – כל המשבצות חוץ מהאמצעית־שמאלית ומהקדמית־ימנית.

(השורה התחתונה – מלפנים.)

סך הכול $6+2+2=10$ קוביות.

תשובה: שורה אחורית 3, 1, 2; אמצעית 0, 1, 1; קדמית 1, 1, 0.

כדי שהמבט מלמעלה לא ישתנה, מוסיפים קובייה על משבצת שכבר יש בה קוביות. כדי שהמבט מימין לא ישתנה, הערימה לא יכולה לעבור את הגובה הגבוה ביותר באותה שורה.

רק בשורה האחורית יש מקום (הגובה המקסימלי בה 3). שתי האפשרויות:

(המבט מלפנים כן משתנה, וזה מותר.)

תשובה: מוסיפים קובייה בשורה האחורית: באמצע (1 → 2) או מימין (2 → 3).

נקרא את המבנה בסרטוט I. החץ מצביע על החזית, ולכן השורה הקדמית היא השורה התחתונה בתרשים המספרים. בכל משבצת רושמים כמה קוביות עומדות בה זו על זו:

המבטים — בכל מבט רואים בכל טור את הערימה הגבוהה ביותר:

• מבט מלפנים (המקסימום בכל עמודה, משמאל לימין): $\max (2,3,1)=3,\max (1,1,1)=1,\max (2,1,0)=2$.
• מבט מימין (המקסימום בכל שורה; בצד שמאל של המבט נמצאת השורה הקדמית): $1,3,2$.
• מבט מלמעלה: כל משבצת שיש בה לפחות קובייה אחת. רק המשבצת הקדמית־ימנית ריקה.

תשובה: תרשים מספרים: שורה אחורית 2, 1, 2; אמצעית 3, 1, 1; קדמית 1, 1, 0. מבט מלפנים 3, 1, 2; מבט מימין 1, 3, 2.

נחבר את כל המספרים בתרשים:

תשובה: 12 קוביות.

לפי תרשים המבטים הנתון:

• מבט מימין: גבהים $1,3,2$ (משמאל לימין במבט).
• מבט מלפנים: גבהים $3,1,3$.
• מבט מלמעלה: כל המשבצות מלאות חוץ מהמשבצת האמצעית בשורה הקדמית.

נבדוק כל מבנה בסרטוט II:

• מבנה (1): מבט מימין $1,3,2$, מבט מלפנים $3,1,3$, ומבט מלמעלה מתאים — מתאים לתרשים.
• מבנה (2): בעמודה הימנית הערימה הגבוהה ביותר היא של 2 קוביות, ולכן המבט מלפנים הוא $3,1,2$ ולא $3,1,3$ — לא מתאים (המבט מלפנים שונה).
• מבנה (3): בשורה האחורית יש ערימה של 3 קוביות, ולכן במבט מימין הטור הימני הוא 3 ולא 2 (המבט הוא $1,3,3$) — לא מתאים (המבט מימין שונה).

תשובה: מבנים (2) ו־(3) אינם מתאימים: ב־(2) המבט מלפנים שונה, ב־(3) המבט מימין שונה.