בגרות חורף תשפ״ד (2024)

מבט מלמעלה מראה אילו משבצות של המשטח תפוסות (לא משנה הגובה). בשני התרשימים השורה העליונה היא השורה האחורית והתחתונה היא הקדמית (הקרובה לחץ). ההבדל ביניהם הוא רק בשורה השנייה מלפנים:

• תרשים I: בשורה השנייה מלפנים תפוסות המשבצת השמאלית והאמצעית.
• תרשים II: בשורה השנייה מלפנים תפוסה רק המשבצת השמאלית.

בכל שלושת המבנים בשורה הקדמית יש קובייה אחת באמצע, ובשורה האחורית יש ערימה בגובה 2 באמצע. נסתכל על השורה השנייה מלפנים:

• מבנה 1: רואים את הפאה הימנית (הכהה) של הקובייה השמאלית בשורה השנייה, כלומר המשבצת האמצעית בשורה זו ריקה ← תרשים II.
• מבנה 2 ומבנה 3: מאחורי הקובייה הקדמית יש קובייה גם במשבצת האמצעית של השורה השנייה (רואים את הפאה הימנית שלה), והמשבצת הימנית ריקה ← תרשים I.

תשובה: מבנה 1 – תרשים II; מבנה 2 – תרשים I; מבנה 3 – תרשים I.

המבט מלמעלה של מבנה 3 הוא תרשים I, ולכן המשבצות התפוסות ידועות. נשאר לקבוע את הגובה בכל משבצת: כל הערימות בגובה קובייה אחת, חוץ מהערימה האמצעית בשורה האחורית שבה שתי קוביות זו על זו.

בסך הכול $3+3+2+1=9$ קוביות.

תשובה: מהשורה האחורית לקדמית: $(1,2,0),(1,1,1),(1,1,0),(0,1,0)$

במבט מלפנים רואים בכל עמודה את הערימה הגבוהה ביותר באותה עמודה (לאורך כל השורות):

• עמודה שמאלית: $\max (1,1,1,0)=1$
• עמודה אמצעית: $\max (2,1,1,1)=2$
• עמודה ימנית: $\max (0,1,0,0)=1$

תשובה: גבהים $1,2,1$ (משמאל לימין).

כדי שהמבט מלמעלה לא ישתנה, אסור להוסיף קוביות במשבצות ריקות — רק להגביה ערימות קיימות. כדי שהמבט מלפנים לא ישתנה, אסור שערימה תהיה גבוהה מהגובה של העמודה שלה במבט מלפנים ($1,2,1$).

• עמודה שמאלית וימנית: הגובה המקסימלי 1 — כל הערימות כבר בגובה 1, אי אפשר להוסיף.
• עמודה אמצעית: הגובה המקסימלי 2 — בשלוש ערימות בגובה 1 אפשר להוסיף קובייה אחת בכל אחת.

תשובה: 3 קוביות.

כל המשבצות בעמודה האמצעית מגיעות לגובה 2 (המשבצות שהשתנו מודגשות):

בדיקה: $12-9=3$ קוביות נוספו.

תשובה: מהשורה האחורית לקדמית: $(1,2,0),(1,2,1),(1,2,0),(0,2,0)$