מודל ריבועי

הנקודה $A$ נמצאת על ציר ה־$y$, כלומר $x=0$:

תשובה: 7 מטרים.

הגובה המקסימלי מתקבל בקודקוד הפרבולה. לפי הנוסחאון, עם $a=-0.25,b=3$:

תשובה: 16 מטרים.

$a=-0.25<0$, ולכן הפרבולה „בוכה” (יש לה מקסימום): היא עולה משמאל לקודקוד ויורדת מימינו. קטע המסילה מתחיל ב־$x=0$, ולכן הרכבת במגמת עלייה מ־$A$ ועד הקודקוד $x=6$.

תשובה: $0<x<6$

גובה עמוד התמיכה שווה לגובה המסילה בנקודה $B$, שבה $x=13$:

תשובה: 3.75 מטרים.

נמצא היכן גובה המסילה הוא 12 מטרים:

לפי נוסחת השורשים, עם $a=-0.25,b=3,c=-5$:

שני הערכים נמצאים בין $A$ ($x=0$) ל־$B$ ($x=13$), ולכן יש שתי מצלמות: ב־$x=2$ וב־$x=10$.

תשובה: $x=2$ ו־$x=10$ (מרחק אופקי במטרים מן הנקודה $A$).

הגובה המקסימלי מתקבל בקודקוד הפרבולה. לפי הנוסחאון, עבור $y=a{x}^2+bx+c$ עם $a=-0.4,b=2$:

נציב $x=2.5$ בפונקציה:

תשובה: הגובה המקסימלי הוא 3.6 מטרים.

$a=-0.4<0$, ולכן הפרבולה „בוכה” (מקסימום): היא עולה משמאל לקודקוד. הכדור נזרק מ־$x=0$, ולכן הוא עולה עד הקודקוד $x=2.5$.

תשובה: $0<x<2.5$

נציב $x=5.2$ בפונקציה:

תשובה: 0.684 מטרים.

הכדור פוגע בקרקע כאשר $y=0$:

לפי נוסחת השורשים, עם $a=-0.4,b=2,c=1.1$:

$x=-0.5$ נמצא „מאחורי” נקודת הזריקה ואינו מתאים, ולכן הכדור היה פוגע בקרקע ב־$x=5.5$.

תשובה: $x=5.5$ מטרים.

$A$ ו־$O$ הן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה־$x$, כלומר $y=0$:

נוציא גורם משותף:

$x=0$ או $0.4x=1.2$, כלומר $x=3$.

$x=0$ היא הנקודה $O$, ולכן $A(3,0)$ ואורך הקטע:

תשובה: 3 מטרים.

$a=0.4>0$, ולכן לפרבולה יש נקודת מינימום – הקודקוד. לפי הנוסחאון, עם $a=0.4,b=-1.2$:

הנקודה הנמוכה ביותר במסלול היא $(1.5,-0.9)$.

תשובה: $(1.5,-0.9)$

הפרבולה „מחייכת” ($a>0$): היא יורדת משמאל לקודקוד ועולה מימינו. המסלול מתחיל ב־$x=0$, ולכן נועם גולש במגמת ירידה מ־$O$ ועד הקודקוד $x=1.5$.

תשובה: $0<x<1.5$

נמצא היכן $y=-0.5$:

לפי נוסחת השורשים, עם $a=0.4,b=-1.2,c=0.5$:

שני הערכים נמצאים בין $O$ ($x=0$) ל־$A$ ($x=3$), ולכן שניהם מתאימים.

תשובה: $x=0.5$ ו־$x=2.5$ (מרחק אופקי במטרים מן הנקודה $O$).

הנקודות $O$ ו־$B$ נמצאות בגובה פני המים, כלומר $y=0$:

מכפלה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים שווה לאפס:

או

הגשר מתחיל ב־$O$, ולכן $O(0,0)$ ו־$B(8,0)$.

תשובה: $O(0,0),B(8,0)$

הגובה המקסימלי מתקבל בקודקוד הפרבולה. לפי הנוסחאון, עבור $y=a{x}^2+bx+c$ עם $a=-0.1,b=0.8$:

תשובה: הגובה המקסימלי הוא 1.6 מטרים.

$a=-0.1<0$, ולכן הפרבולה „בוכה” (מקסימום): היא עולה עד הקודקוד $x=4$ ויורדת אחריו. יוסי הולך מ־$O$ ($x=0$) עד $B$ ($x=8$), ולכן הוא יורד בקטע שבין הקודקוד ל־$B$:

תשובה: $4<x<8$

נציב $y=1.2$:

לפי נוסחת השורשים, עם $a=-0.1,b=0.8,c=-1.2$:

בגובה 1.2 מטרים יוסי עובר פעמיים: ב־$x=2$ (בעלייה) וב־$x=6$ (בירידה). לפי סעיף ג (1) הירידה היא בקטע $4<x<8$, ולכן $x=6$.

תשובה: $x=6$ (6 מטרים מן הנקודה $O$).

נקודת הזריקה היא $x=0$ (המרחק האופקי נמדד מנקודת הזריקה). נציב:

תשובה: 2 מטרים.

הגובה המקסימלי מתקבל בקודקוד הפרבולה. לפי הנוסחאון, עבור $y=a{x}^2+bx+c$ עם $a=-0.5,b=2$:

תשובה: 4 מטרים.

$a=-0.5<0$, ולכן הפרבולה „בוכה” (מקסימום): היא עולה עד הקודקוד $x=2$ ויורדת אחריו. הכדור נזרק מ־$x=0$, ולכן הוא עולה בקטע:

תשובה: $0<x<2$

נציב $y=3.02$:

לפי נוסחת השורשים, עם $a=-0.5,b=2,c=-1.02$:

בגובה 3.02 מטרים הכדור נמצא פעמיים: ב־$x=0.6$, בעלייה, מיד אחרי הזריקה, וב־$x=3.4$, בירידה. כמו שרואים בסרטוט, הכדור מגיע לסל בירידה, אחרי הנקודה הגבוהה ביותר ($x=2$). לכן $x=3.4$.

תשובה: $x=3.4$ מטרים.

הסולם מתחיל בראשית הצירים $O$ ומסתיים בנקודה $A$ שעל ציר ה־$y$, כלומר ב־$x=0$. נציב במשוואת הפרבולה:

תשובה: גובה הסולם הוא 11 מטרים.

$C$ היא קודקוד הפרבולה (נקודת המינימום). לפי הנוסחאון, עבור $y=a{x}^2+bx+c$ עם $a=1,b=-6$:

תשובה: הנקודה $C$ נמצאת בגובה 2 מטרים.

$B$ נמצאת בגובה 6 מטרים, ולכן נציב $y=6$:

לפי נוסחת השורשים, עם $a=1,b=-6,c=5$:

לפי הסרטוט, $B$ נמצאת מימין לנקודת המינימום $C$ (שבה $x=3$), ולכן $x_B=5$. (ב־$x=1$ נמצאת הנקודה בגובה 6 מטרים בחלק היורד של המגלשה.)

תשובה: $x_B=5$ (5 מטרים מן הסולם).

נועם התגלש מ־$A$ למטה עד נקודת המינימום $C$ ($x=3$), ומשם המשיך לעלות עד $B$ ($x=5$). אחר כך חזר מ־$B$ ל־$C$ – שוב בירידה.

$a=1>0$, ולכן הפרבולה „מחייכת”: היא יורדת משמאל לקודקוד ועולה מימינו. לכן נועם היה במגמת עלייה בקטע שבין $C$ ל־$B$:

תשובה: $3<x<5$

עמוד התמיכה מתחיל בראשית הצירים $O$ ומסתיים בנקודה $D$ שעל ציר ה־$y$, כלומר ב־$x=0$:

תשובה: גובה עמוד התמיכה הוא 6 מטרים.

$A$ ו־$B$ הן נקודות החיתוך של הפרבולה עם הקרקע (ציר ה־$x$), ולכן נציב $y=0$:

לפי נוסחת השורשים, עם $a=-1,b=5,c=6$:

לפי הסרטוט, $A$ משמאל לעמוד: $A(-1,0)$, ו־$B(6,0)$.

תשובה: $AB=7$ מטרים.

הגובה המקסימלי מתקבל בקודקוד הפרבולה. לפי הנוסחאון, עם $a=-1,b=5$:

תשובה: הגובה המקסימלי הוא 12.25 מטרים.

$a=-1<0$, ולכן הפרבולה „בוכה”: היא עולה משמאל לקודקוד ויורדת מימינו.

דורון טיפס מ־$A$ ($x=-1$) עד הקודקוד ($x=2.5$), ומשם ירד עד $B$ ($x=6$). לכן הוא במגמת ירידה כאשר:

תשובה: $2.5<x<6$

העמוד הנוסף באותו גובה כמו עמוד הבטון, כלומר 6 מטרים. נמצא היכן המסלול בגובה 6:

מכפלה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים שווה לאפס:

או

$x=0$ הוא עמוד הבטון, ולכן העמוד הנוסף נמצא ב־$x=5$. המרחק בין העמודים:

אפשר גם לפי סימטריה: הנקודות $x=0$ ו־$x=5$ נמצאות במרחק שווה (2.5) מציר הסימטרייה $x=2.5$.

תשובה: המרחק בין העמודים הוא 5 מטרים.

תחילת התקופה היא $x=0$ (נקודת החיתוך עם ציר ה־$y$):

תשובה: 17 מיליון מוצרים.

מציבים $x=7$ בפונקציה:

תשובה: 10 מיליון מוצרים.

$a=1>0$, ולכן הפרבולה „מחייכת” והערך הקטן ביותר מתקבל בקודקוד. לפי הנוסחאון, עם $a=1,b=-8$:

תשובה: כעבור 4 שנים (אז ייצרו מיליון מוצרים).

נציב $y=2$:

לפי נוסחת השורשים, עם $a=1,b=-8,c=15$:

תשובה: כעבור 3 שנים וכעבור 5 שנים.

רגע הזריקה הוא $x=0$:

תשובה: 2 מטרים.

$a=-5<0$, ולכן לפרבולה יש נקודת מקסימום בקודקוד. לפי הנוסחאון, עם $a=-5,b=16$:

תשובה: כעבור 1.6 שניות, בגובה 14.8 מטרים.

נציב $y=14$:

לפי נוסחת השורשים, עם $a=-5,b=16,c=-12$:

תשובה: כעבור 1.2 שניות וכעבור 2 שניות.

נציב $x=4$:

יצא גובה שלילי, כלומר לפי הפונקציה האבן הייתה „מתחת לקרקע” — לכן כעבור 4 שניות היא כבר הגיעה לקרקע.

אפשר גם למצוא מתי האבן פוגעת בקרקע ($y=0$):

לפי נוסחת השורשים, עם $a=-5,b=16,c=2$:

$x_1<0$ אינו מתאים (הזמן אינו שלילי), ולכן האבן פוגעת בקרקע כעבור כ־3.32 שניות. $3.32<4$, ולכן כעבור 4 שניות האבן כבר על הקרקע.

תשובה: האבן כבר הגיעה לקרקע (היא פגעה בקרקע כעבור כ־3.32 שניות).