בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד א׳

לפי הטבלה: במארז א' 12 סבונים ו־3 קרמים, במארז ב' 8 סבונים ו־6 קרמים.

סבונים (לכל היותר 240):

קרמים (לכל היותר 132):

מספר המארזים אינו שלילי:

אפשר לצמצם: הראשון ב־4 והשני ב־3:

תשובה: $12x+8y\le 240,3x+6y\le 132,x\ge 0,y\ge 0$

הרווח ממארז א' הוא 25 ש״ח וממארז ב' 20 ש״ח, ולכן:

תשובה: $f(x,y)=25x+20y$

נסרטט את ישרי האילוצים (שתי נקודות על הצירים לכל ישר):

• $3x+2y=60$: עובר דרך $(0,30)$ ו־$(20,0)$ (הישר התלול).
• $x+2y=44$: עובר דרך $(0,22)$ ו־$(44,0)$ (הישר המתון).

שני האילוצים מסוג „קטן או שווה”, ולכן התחום נמצא מתחת לשני הישרים (הנקודה $(0,0)$ מקיימת את שניהם), ברביע הראשון. זה השטח המקווקו בסרטוט 1.

תשובה: סרטוט 1

נמצא את נקודת החיתוך של שני הישרים בשיטת השוואת מקדמים (המקדם של $y$ זהה בשתי המשוואות, ולכן נחסר אותן):

נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:

נציב $x=8$ במשוואה השנייה:

הערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום. נציב:

הרווח המקסימלי, 560 ש״ח, מתקבל בנקודה $(8,18)$.

תשובה: 8 מארזים מסוג א' ו־18 מארזים מסוג ב' (רווח 560 ש״ח).

אילוץ הקרמים מתהפך: לפחות 132 קרמים, כלומר $3x+6y\ge 132$ (או $x+2y\ge 44$). אילוץ הסבונים לא השתנה: $3x+2y\le 60$.

לכן התחום נמצא מעל הישר המתון $x+2y=44$ ומתחת לישר התלול $3x+2y=60$, ליד ציר ה־$y$: המשולש שקודקודיו $(0,22),(0,30)$ ו־$(8,18)$ (נקודת החיתוך של שני הישרים, שמצאנו בסעיף ד).

זה השטח המקווקו בסרטוט 3.

תשובה: סרטוט 3